Alt Küme, Özalt Küme ve Evrensel Küme Nedir? Özellikleri ve Örnekleri

0

Alt Küme, özalt küme ve evrensel küme nedir? Alt kümenin ve özalt kümenin özellikleri nelerdir? Alt küme, evrensel küme ile ilgili formüller ve örnekler.

Alt Küme

Advertisement

ALT KÜME

A ve B herhangi iki küme A’nın her elemanı B’ninde bir elemanı ise A kümesine B’nin alt kümesi denir ve A⊂ B şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:
  • A= {x I -1 ≤ x < 5, x ∈ Z}
  • B= {x I -2 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z}
  • A ve B’yi liste yöntemi ile yazarsak:
  • A= {-1,0,1,2,3,4}
  • B= {-2, -1,0,1,2,3,4,5}

A’nın her elemanının B’nin bir elemanı olduğu görülür. A ⊂ B dir.

Not: Boş küme her kümenin alt kümesidir.

ÖZALT KÜME

Bir kümenin kendisinden farklı her bir alt kümesine öz alt küme denir.

Advertisement

Not: Eleman sayısı n olan bir kümenin
Alt küme sayısı: 2n
Öz alt küme sayısı: 2n -1
r elemanlı alt kümelerin sayısı:

\displaystyle \frac{n!}{\left( n-r \right)!r!}(r\le n)

formülleri ile bulunur.

ÖRNEK:

Altı elemanlı bir kümenin:

a) Alt küme sayısını
b) Öz alt küme sayısını
c) Üçten az elemanlı alt küme sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:
  • Alt küme sayısı: 26 = 64
  • Öz alt küme sayısı: 64 -1 = 63
  • İki elemanlı alt küme sayısı :
  • \displaystyle \frac{6!}{\left( 6-2 \right)!2!}=15
  • Bir elemanlı alt küme sayısı :
  • \displaystyle \frac{6!}{\left( 6-1 \right)!1!}=6
  • Sıfır elemanlı alt küme sayısı:
  • \displaystyle \frac{6!}{\left( 6-0 \right)!0!}=1
  • 3ten az elemanlı alt küme sayısı:
  • 15 + 6 + 1 = 22’dir.

Alt Kümenin Özellikleri

\displaystyle *\varnothing \subset A Boş küme A kümesinin alt kümesidir

Advertisement

\displaystyle *A\subset A A kümesi kendisinin alt kümesidir

\displaystyle *\left( A\subset B \right)\wedge \left( B\subset A \right)\Rightarrow A=B A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise, bu durumda A ve B kümeleri birbirine eşittir.

\displaystyle *\left( A\subset B \right)\wedge \left( B\subset C \right)\Rightarrow A\subset C A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise bu durumda A kümesi C kümesinin alt kümesidir.

  • * n elemanlı bir kümenin alt kümeleri sayısı 2n dir
  • * Bir kümenin kendisi hariç diğer alt kümelerine bu kümelerin özalt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin özalt kümeleri sayısı 2n – 1 dir.
  • * n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r ≤ n) alt kümeleri sayısı;

\displaystyle C(n,r)=\left( \begin{matrix}  n \\  r \\  \end{matrix} \right)=\frac{n!}{\left( n-r \right)!.r!}

Evrensel Küme

Evrensel Küme: çözülecek probleme göre düşünülen en geniş kümeye evrensel küme denir. Tümleme:

Evrensel kümenin elemanı olupta A kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye A’nın tümleyeni denir ve (A’) ile gösterilir.

  • A’ = {x I x ∈ E ve x ∉ A}
  • Şema ile gösterilirse:

evrensel-kume


Leave A Reply