Çemberde Benzerlik Formülleri – Çözümlü Sorular

0

Çemberde Benzerlik nedir? Çemberde benzerlik özellikleri ve formülleri nelerdir? Çemberde benzerlik konu anlatımı, örnek soru çözümleri.

Advertisement

Çemberde Benzerlik

Bütün çemberler benzerdir. Merkez açıları eşit olan bütün çember yaylarıda benzerdir.

Çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir. Benzerlik oranı \displaystyle \frac{r}{{{r}_{1}}} dir.

Örnek

|OD| = 2.|BD|
|DC| = 12 cm
O noktası her iki çemberin merkezidir. Buna göre, |AB| kaç cm dir?

Advertisement

Çözüm

|BD| = k olursa |OD| = 2k ve
|OB| = 3k olur. buradan yarıçapları oranı

\displaystyle \frac{\left| OD \right|}{\left| OB \right|}=\frac{2k}{3k}

\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{\left| \overset\frown{DC} \right|}{\left| \overset\frown{AB} \right|}

\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{12}{\left| \overset\frown{AB} \right|} buradan \displaystyle \left| \overset\frown{AB} \right|=18 cm. dir.

Örnek

Advertisement

|BT| = 6 cm
|AT| = 10 cm
|BT| = 9 cm

Yukarıdaki şekilde verilen çemberler birbirlerine T noktasında dıştan teğettir.

Buna göre, AT yayının uzunluğu kaç cm dir?

Çözüm

Merkezler ve teğet nokta doğrusaldır. O halde; \displaystyle \text{AOT }\!\!\tilde{\ }\!\!\text{ B}{{\text{O}}_{1}}T olur.

\displaystyle \frac{{{r}_{1}}}{r}=\frac{6}{10} ve BT yayı ile AT yayını gören r 10

merkez açılarıda eşit olduğuna göre, bu yaylarda benzerdir.

\displaystyle \frac{\left| \overset\frown{BT} \right|}{\left| \overset\frown{AT} \right|}=\frac{{{r}_{1}}}{r} buradan
\displaystyle \frac{9}{\left| \overset\frown{AT} \right|}=\frac{6}{10} ve \displaystyle \left| \overset\frown{AT} \right|=15cm

Örnek

ABC bir üçgen |EC| = 6 cm
|AC| = 15 cm
|DE| = 5 cm
Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç cm dir?

Advertisement

Çözüm

ABED bir kirişler dörtgeni olduğu için karşılıklı açıları toplamı 180° dir. O halde

m(CAB) = m(CED) ve

m(ABC) = m(EDC) olacağından

CDE ~ CBA benzerliği görülmelidir.

\displaystyle \frac{\left| CD \right|}{\left| CB \right|}=\frac{\left| CE \right|}{\left| CA \right|}=\frac{\left| DE \right|}{\left| BA \right|} buradan

\displaystyle \frac{6}{15}=\frac{5}{\left| AB \right|}\Rightarrow \left| AB \right|=12,5cm


\displaystyle \left| AB \right|=\left| AC \right|=x

A, E, D doğrusal

\displaystyle {{x}^{2}}=\left| AE \right|.\left| AD \right|

Advertisement

\displaystyle m\left( \overset\frown{ABC} \right)=m\left( \overset\frown{ACB} \right)=m\left( \overset\frown{ADC} \right)=\alpha

\displaystyle ACE\sim ADC benzerliğinden

\displaystyle \frac{\left| AC \right|}{\left| AD \right|}=\frac{\left| AE \right|}{\left| AC \right|} buradan
\displaystyle {{x}^{2}}=\left| AD \right|.\left| AE \right|
formülü oluşur.


|AB| = |AC|= x

A, D, E ve

B, C, E doğrusal

\displaystyle {{x}^{2}}=\left| AD \right|.\left| AE \right|


\displaystyle m\left( \overset\frown{ABC} \right)=m\left( \overset\frown{ACB} \right)=\alpha olsun.

Advertisement

\displaystyle m\left( \overset\frown{ADC} \right)=180-\alpha (kirişler dörtgeni)

\displaystyle m\left( \overset\frown{ACE} \right)=180-\alpha olur.

\displaystyle ADC\sim ACE benzerliğinden

\displaystyle \frac{\left| AD \right|}{\left| AC \right|}=\frac{\left| AC \right|}{\left| AE \right|} buradan

\displaystyle {{x}^{2}}=\left| AD \right|.\left| AE \right|


ABCD bir kirişler dörtgeni [AC] , [BD] köşegen ise

|AC| . |BD| = |AB| . |DC] + |AD| . |BC|

Köşegenlerin çarpımı, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşittir.


\displaystyle m\left( \overset\frown{ACD} \right)=m\left( \overset\frown{BCE} \right)=\alpha olacak şekilde [CE] çizilirse

Advertisement

1. ACD ~ BCE (Açı Açı benzerliği)

\displaystyle \frac{\left| AC \right|}{\left| BC \right|}=\frac{\left| AD \right|}{\left| BE \right|} ve

\displaystyle \left| BC \right|.\left| AD \right|=\left| AC \right|.\left| BE \right|

2. ABC ~ DEC (Açı Açı benzerliği)

\displaystyle \frac{\left| AB \right|}{\left| DE \right|}=\frac{\left| AC \right|}{\left| DC \right|} ve

\displaystyle \left| AB \right|.\left| DC \right|=\left| DE \right|.\left| AC \right|

1. \displaystyle \left| BC \right|.\left| AD \right|=\left| AC \right|.\left| BE \right|

2. \displaystyle \left| AB \right|.\left| DC \right|=\left| DE \right|.\left| AC \right|

Alt alta toplama yapılırsa

\displaystyle \left| BC \right|.\left| AD \right|+\left| AB \right|.\left| DC \right|=\left| AC \right|.\left( \left| BE \right|+\left| DE \right| \right)

\displaystyle \left| BC \right|.\left| AD \right|+\left| AB \right|.\left| DC \right|=\left| AC \right|.\left| BD \right| formülü oluşur.

Advertisement


Leave A Reply