Çemberin Denklemi Konu Anlatımı, Formülleri ve Açıklamaları İle Birlikte

Çemberin denklemi nasıl bulunur? Çemberin genel denklemi konu anlatımı ile birlikte örnek soru ve çözümleri ve hesaplanması.

ÇEMBERİN DENKLEMİ:

Çember Konu Anlatımı

Merkezi 0 (a,b) ve yarıçapı r olan çember üzerindeki bir nokta A(x,y) olsun. (r,0) sabit olduğundan çember üzerindeki her A noktası;

$\displaystyle \left| OA \right|=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}}$ bağıntısını sağlar.

$\displaystyle \left| OA \right|=r$ olduğuna göre,

$\displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}$

denklemi; merkezi 0(a,b) ve yarıçapı r olan çember denklemidir. Merkezi orjinde olan çembere merkezil çember denir. Merkezil çemberin denklemi;

$\displaystyle {{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{r}^{2}}$ dir.

ÖRNEK:

Merkezi 0(-2,3) ve yarıçapı r= 5 olan çember denklemi nedir?

ÇÖZÜM:

$\displaystyle {{(x-a)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}$

$\displaystyle {{(x+2)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=25$

ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ:

$\displaystyle {{(x-a)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}$ denklemi açılırsa;

$\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0$

elde edilir.

$\displaystyle -2a=D,-2b=E,$

$\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=F$

olarak alınırsa;

$\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0$ denklemi elde edilir. Bu denkleme çemberin genel denklemi denir.

Bu durumda merkez;

$\displaystyle O\left( -\frac{D}{2},\frac{E}{2} \right)$

$\displaystyle r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-F}=\frac{1}{2}\sqrt{{{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F}$

$\displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F$ ye çember denkleminin diskirminantı denir.

1- $\displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F>0\Rightarrow$ çember denklemi
2- $\displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F=0\Rightarrow$ nokta
3- $\displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F<0\Rightarrow$ Boş kümedir. Çember denklemi x ve y ye göre ikinci dereceden bir denklemdir. x ve y ye göre ikine idereceden en genel denklem;