Çemberin Denklemi Konu Anlatımı

0
Advertisement

Çemberin denklemi nasıl bulunur? Çemberin genel denklemi konu anlatımı ile birlikte örnek soru ve çözümleri ve hesaplanması.

ÇEMBERİN DENKLEMİ:

Çember Konu Anlatımı

Merkezi 0 (a,b) ve yarıçapı r olan çember üzerindeki bir nokta A(x,y) olsun. (r,0) sabit olduğundan çember üzerindeki her A noktası;

\displaystyle \left| OA \right|=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}} bağıntısını sağlar.

\displaystyle \left| OA \right|=r olduğuna göre,

Advertisement

\displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}

denklemi; merkezi 0(a,b) ve yarıçapı r olan çember denklemidir. Merkezi orjinde olan çembere merkezil çember denir. Merkezil çemberin denklemi;

\displaystyle {{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{r}^{2}} dir.

ÖRNEK:

Advertisement

Merkezi 0(-2,3) ve yarıçapı r= 5 olan çember denklemi nedir?

ÇÖZÜM:

\displaystyle {{(x-a)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}

\displaystyle {{(x+2)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=25

Advertisement
ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ:

\displaystyle {{(x-a)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}} denklemi açılırsa;

\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0

elde edilir.

\displaystyle -2a=D,-2b=E,

Advertisement

\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=F

olarak alınırsa;

\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 denklemi elde edilir. Bu denkleme çemberin genel denklemi denir.

Bu durumda merkez;

Advertisement

\displaystyle O\left( -\frac{D}{2},\frac{E}{2} \right)

\displaystyle r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-F}=\frac{1}{2}\sqrt{{{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F}

\displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F ye çember denkleminin diskirminantı denir.

1- \displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F>0\Rightarrow çember denklemi
2- \displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F=0\Rightarrow nokta
3- \displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F<0\Rightarrow Boş kümedir. Çember denklemi x ve y ye göre ikinci dereceden bir denklemdir. x ve y ye göre ikine idereceden en genel denklem;

Advertisement

\displaystyle A{{x}^{2}}+B{{y}^{2}}+Cxy+Dx+Ey+F=0 şeklindedir.

Bu denklemin çember belirtmesi için;

1) A=B
2) C=0
3) A=B=1 iken \displaystyle {{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F>0 şartlarını sağlamalıdır.

ÖRNEK:

\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-6y+4=0 çember denkleminden merkezin koordinatlarını ve yarıçapını bulunuz.

Advertisement

ÇÖZÜM:

\displaystyle a=-\frac{D}{2}\Rightarrow a=\frac{-4}{2}\Rightarrow a=-2

\displaystyle b=-\frac{E}{2}\Rightarrow b=\frac{6}{2}\Rightarrow b=3

\displaystyle O\left( -2,3 \right)

Advertisement

\displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{{{D}^{2}}+{{E}^{2}}-4F}

\displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{16+9-16}=3


Bir Yorum Yazmak İster misiniz?