Fonksiyon Nedir? Özellikleri ve Örnekleri

Fonksiyon nedir? Fonksiyonların özellikleri nelerdir? Fonksiyon örnekleri, çözümlü ve açıklamalı sorular, örnekler.

FONKSİYON

Tanım: A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye tanımlı f bağıntısına fonksiyon denir.

f:A —> B veya A —> ^fB ile gösterilir

A’ya tanım kümesi, B’ye değer kümesi denir.

fonksiyon-1

TANIMDAN ÇIKAN ÖZELLİKLER:

1) Tanım kümesinde açıkta eleman kalamaz.

fonksiyon-2

2) Değer kümesinde açıkta eleman kalabilir.

fonksiyon-3

3) Tanım kümesinin bir elemanı değer kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez.

fonksiyon-4

4) Tanım kümesininin birden fazla elemanı değer kümesinin bir elemanına eşlenebilir.

fonksiyon-5

Tanım: A’nın elemanlarının eşlendiği elemanlar kümesine görüntü kümesi denir, ve f (A) ile gösterilir. f(A) ⊂ B ‘dir.

fonksiyon-6

x’in f altındaki görüntüsü y ise, f: x —> y veya f (x) = y veya (x,y) ∈ f şeklinde yazılır.

Özellik: A’dan B ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı [s(B)] ^s(A) dır.

ÖRNEK:

A={x: x∈ Z ve Ix+1I < 2}

B={1,2,3,4,5,6,7} kümeleri için f:A —>> B fonksiyonu f (x) =1-2x şeklinde tanımlanıyor. A ve f(A) kümelerini liste biçiminde yazınız.

ÇÖZÜM:

A={x:x∈Z ve Ix+1I <2}

=> Ix+1I < 2 =>-2< x+l<2=>-3< x< 1

Buradan A={-2,-1,0} ve x = -2 için f (-2) = 1-2. (-2) ise f (-2 ) = 5 olur. Benzer işlemlerle f(A) = {1,3,5} bulunur.

ÖRNEK:

Aşağıda, grafik olarak gösterilen RxR’de tanımlı bağıntıların hangileri aynı zamanda bir fonksiyon belirtir?

fonksiyon-7

ÇÖZÜM:

Grafik ile verilen bağıntılarda o y eksenine çizilen paralellerden en az biri grafiği kesmiyor veya birden fazla noktada kesiyorsa, bağıntı fonksiyon belirtmez.

fonksiyon-8

Bu yüzden f1, f3 ve f6 fonksiyon değildir. f2, f4, f5 fonksiyondur.

FONKSİYONLARDA TANIM KÜMESİ İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

1) n ∈ N⁺ olmak üzere

$\displaystyle {{a}_{n}},{{a}_{n-1}},....,{{a}_{1}},{{a}_{0}}\in R$

$\displaystyle f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+....+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ şeklinde

fonksiyonların en geniş tanım kümesi R’dir.

2) P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom olmak üzere;

f (x) =P(X) / Q(x)

şeklindeki fonksiyonların en geniş tanım kümesi, R’den paydayı sıfır yapan değerlerin çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, en geniş tanım kümesi, R-{x : x ∈ R ve Q(x) =0} dır.

3) n∈ N⁺ olmak üzere f: A⊂R —-> R,

$\displaystyle f(x)=\sqrt[2n]{F(x)}$ şeklindeki fonksiyonların en geniş tanım kümesi, F(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.

4) n∈ N⁺ olmak üzere f:A⊂R->R,

f(x) = 2n”VF(x) şeklindeki fonksiyonların en geniş tanım kümesi, F(x)’in tanım kümesidir.

f (x) =q(x) ± h(x)

f (x) =q(x). h(x)

f (x) =q(x) / h(x) (h (x) ≠ 0)

biçimindeki fonksiyonların en geniş tanım kümesi q(x) ve h(x) fonksiyonlarının en geniş tanım kümelerinin kesişimidir.

ÖRNEKLER:

1) f(x)=x¹⁰⁰ -2x² +1 ‘in

en geniş tanım kümesi (aralığı): T=R’dir.

f:A—>R , f(x) = 2x+3 / x+1 için

x+1=0 => x=-1 olduğundan T=R-{-1}

f:A—>R , f(x) = için x+2 / x²+2

x²+2=0—->>> x²=-2 =>x∉ R olduğundan T=R’dir.

f:A—->> R f(x) = √3x+6 ise

3×6≥ 0 => 3x ≥ -6 => x ≥ -2 olduğundan

T= [-2,∞) olur

f:A—>R, $\displaystyle f(x)=\sqrt[5]{\frac{3x-1}{{{x}^{2}}-4}}$ ün en geniş tanım aralığı $\displaystyle \frac{3x-1}{{{x}^{2}}-4}$ ün en geniş tanım aralığıdır.