Geometrinin Temelleri – Tarihi Gelişimi

0

Geometri nedir? Geometrinin özellikleri, tarihteki kullanımı, tarihçesi, gelişimi, hakkında bilgi.

geometriGeometri; matematiğin bir koludur. Her şeyi çizgi, yüzey ve hacim olarak ele alır, şekillerini, özelliklerini inceler, ölçümlerini gösterir.

Advertisement

Geometride, noktanın hiçbir boyutu yoktur. Çizginin sadece uzunluğu vardır, kalınlığı, genişliği yoktur. Bir yüzeyin ise sadece genişliği, uzunluğu vardır, kalınlığı yoktur. Cisimlerin ise eni, boyu, kalınlığı vardır.

Geometri birçok bilim dallarında en büyük yardımcıdır. Mühendisler, mimarlar geometriden faydalanarak yol, bina, köprü vs. yaparlar. Geometriye dayanan usuller sayesinde uçaklar, gemiler yollarını bulur. Astronomlar da çalışmalarında geometriden geniş ölçüde faydalanırlar.

Geometrinin Temelleri

Geometri’nin temelleri belitlere (mütearifelere) ve tanımlamalara (tariflere) dayanır.

Advertisement

Belit. — Belitler, ayrıca ispatına lüzum olmayan, doğru olduğu apaçık görülen gerçeklerdir. Matematikte hüküm yürütebilmek İçin bu gerçekleri mutlaka bilmek gerekir. Bunlardan doğru mudur, yanlış mıdır diye düşünmeden faydalanırız. Yanlış belitler bizi yanlış sonuçlara götürür. Meselâ Kristof Kolomb‘dan önce gemiciler dünyanın düz olduğunu sandıkları için memleketlerinden fazla uzaklaşamıyorlardı. Kolomb‘un dünyanın yuvarlak olduğunu düşünmesi yeni keşiflere yol açtı.

Bugün hemen herkes Euklides geometrisindeki belitlerin doğruluğuna inanmıştır. Bu Eski Yunanlı matematikçi, tartışmasız kabul edecek temel gerçekleri «belit» ve «konut» (kaziye) diye ayırmıştı. Belitler bütün durumlarda kullanılabilen gerçeklerdi. Meselâ: «Bir şeyin iki yarısı onun bütününe eşittir» sözü bir belirtir.

Konut. — Konutların da belitler gibi ispat edilmesine lüzum yoktur. Ancak, bunlar belitler gibi genel değildir, daha çok geometriye hastırlar.

Tanımlama. — Tanımlama da geometri için çok önemli hususlardan biridir. Bir mesele üzerinde yürüttüğümüz fikirlerin doğru olabilmesi için tanımlamaların çok doğru olması gerekir. Bir dörtgenin ne olduğunu bilmezsek, elimizde bunun doğru bir tanımlaması yoksa, bir şeklin dörtgen olup olmadığını ispat edemeyiz.

Bir fikri tanımlamak (tarif etmek) demek onu bir çember içine alarak çevresinden ayırmak demektir. Bu çember yalnız o fikir için gerekli hususları içine almalıdır. Meselâ: «Karşılıklı kenarlarıyla karşılıklı açıları ayrı ayrı birbirine eşit dörtgenlere paralelkenar denir» tanımlamasına bakalım.

Advertisement

Burada, paralelkenarın bir dörtgen olduğu söylenmekle her şeyden önce bütün başka şekiller tarif dışı çıkarılmıştır. Yalnız, karşılıklı açılarının eşit olduğunu söylemek paralelkenarı dikdörtgenden, karşılıklı kenarlarının eşit olduğunu söylemek de kareden ayırmıştır. O halde, bu tanımlamaya göre çizilecek bir şekil ancak bir paralelkenar olur.

Teorem (Dâva). — Doğruluğunu ispata ihtiyaç gösteren matematik bir ifadedir. İspat edilmiyen gerçekler matematikte yer alamazlar. Bunun- için, ispatların geometride büyük yeri vardır.

Bir teorem «varsayım» ve «yargı» (hüküm) olmak üzere iki kısımdan meydana gelir. Yargı ispat edilmesi gereken şeyin ne olduğunu; «varsayım» ise bu ispata yarayacak şartları anlatır. «Birer kenarlarıyla bu kenarlara komşu açıları eşit olan üçgenler birbirine eşittir» teoreminde son üç kelime yargıdır; teoremin bu yargının ispatına yarayan şartları anlatan ilk kısmı da varsayımdır. Bir teoremi ispat ederken varsayımla yargıyı iyice birbirinden ayırmalı, gerçeği bulabilmek için varsayım şartlarını, gözönünde bulundurmalıdır.

Bir geometri teoreminin ispatında belitlerle tanımlamalardan, daha önceki teoremlerden, daha başka ispatlanmış teoremlerin bize gösterdiği gerçeklerden faydalanılır. Bunlardan faydalanmadan yapılan ispatların hükmü yoktur.

Karşıt Teorem. — Bir teoremin yargısı varsayım, varsayımı da yargı yapılınca meydana gelen teoreme «karşıt teorem» denir. Meselâ: «Bir üçgenin bir kenarına çizilen paralel doğru, diğer iki kenarı, orantılı olarak böler» teoreminin karşıtı şöyledir: «Bir doğru, bir üçgenin iki kenarı üzerinde orantılı parçalar ayırırsa, bu doğru üçgenin üçüncü kenarına paraleldir.»

Advertisement

Yardımcı Teorem. — Bazı teoremlerin ispatı için, bu teoremden önce, onu ispat etmeye yarayacak başka bir “teorem ispatlanır. Buna da «yardımcı teorem» denir.

Geometrinin Bölümleri

Geometrinin üç ana kısmı vardır:

1. — Düzlem Geometri: Bir düzlem içinde bulunan, yani iki boyutu olan şekilleri inceler. Çokgenler, daire düzlem geometrinin sınırları içine girer.

2. — Tasarı Geometri: Uzaydaki şekillerin tasarımını izdüşümlerle gösterir.

3. — Uzay Geometri: Hacimli, yani uç boyutlu şekillerle uğraşır.

Advertisement

Geometrinin başka dalları bu ana bölümlerin içinde kalır. Bunların başlıcaları «analitik geometri» ile «trigonometri» dir.

Geometrinin Gelişmesi

geometrinin-tarihcesiGeometri’nin çok eski bir tarihi vardır. Eski Mısırlılar çok iyi geometri biliyorlardı. Bugün bile ayakta duran piramitleri yapmak için mimarlık kadar geometri de bilmek şarttı. Ayrıca, bir Mısırlı her yıl taşan Nil nehrinin altında kalan topraklarını komşusununkinden ayırmak için ölçüp biçmek zorundaydı.

Geometrinin başlangıcı çok eski çağlara rastlar. İlk geometri fikrinin gelişmesinden bu yana tatbiki ve mantıki geometri yan yana bir gelişme geçirmiştir. Zamanımıza kadar ayakta duran büyük piramitleri yapan Eski Mısırlılar’ın geometri bildikleri açık bir gerçektir. Onların geometri bildiğini gösteren başka deliller” de vardır. Nil nehri her yıl taşar, çevresindeki toprakları sular altında bırakırdı. Onun için Nil kıyısında toprağı olanlar her yıl, yeniden ölçüp biçerek, topraklarının sınırını kestirmek zorunda kalırlardı. Böyle bir şey de ancak geometri sayesinde yapılabilir.

Geometriyi asıl geliştirenler Eski Yunanlılardır. Bu arada, geometri kaidelerini ilk defa ortaya koyan Miletos’lu Thales’tir. Gene geometrinin ilk öncülerinden biri de Pythagoras’tır. M. Ö. VI. yüzyılda yaşayan bu büyük matematikçi bilhassa kendi adiyle anılan teoremiyle tanınmıştır.

Pyfchagoras’tan sonra birçok Yunanlı bilgin geometrinin gelişmesine yardım etti. Nihayet M. Ö. 300 yıllarında Euklides «Elemanlar» adındaki eserini meydana getirdi. Böylece, modern geometri kurulmuş oluyordu. Zamanımızda bile yeni görüşleri hesaba katmazsak geometrinin bütün ilkeleri Euklides geometrisinin ilkeleri üzerine kurulmuştur.

Advertisement

Bir başka büyük Yunan matematikçisi de Arkhimides’tir. Kendini tamamen geometriye vermiş bu büyük bilgin, bir geometri problemi üzerinde çalışırken Romalı askerler tarafından öldürülmüştür. Romalılar, Eski Yunanlılar’ın çizdiği yoldan gittiler, yollar, binalar, su kemerleri yaptılar.

Geometri yüzlerde yıl Euklides’in bıraktığı yerde kaldı. Ancak XVII. yüzyılda Fransız filozofu René Descartes cebiri geometriye soktu, analitik geometriyi kurdu. İngiliz fizikçisi Newton ile Alman bilgini Leibnitz’in de geometri üzerinde önemli çalışmaları oldu.

Geometride Yeni Görüşler

Matematikçiler daha XVII. yüzyıldan beri Euklides geometrisinin sayısız birçok problemler çözmeye yarayamıyacağını düşünmeye başlamışlardı. XVII. ve XVIII. yüzyıllarda bu konuda birçok çalışmalar yapıldı. Euklides geometrisi dışındaki ilk başarılı çalışmayı yapan Alman bilgini Karl Friedrich Gauss’tur. İşi daha çok felsefî yönünden ele alan Gauss, Euklides’in paraleller hakkındaki konutunun yanlış olabileceğini ileri sürdü.

Euklides geometrisi dışındaki geometrinin ilk temellerini XIX. yüzyılda Rus matematikçisi Nikolay Lobaçevskiy attı. Paraleller üzerinde değişik bir görüş ileri sürüyor, bunu ispatlıyordu. Gene aynı yüzyılda Macar bilgini Bolyai Janos da, Lobaçevskiy’inkine benzeyen sonuçlar elde etti. En sonunda Alman matematikçisi Bernhard Riemann konuyu daha derin noktalarına kadar inceledi. Bu bilginin uzayın sınırlı olduğu hakkındaki fikirleri, Einstein’in İzafiyet Teorisi çalışmalarına temel oldu. Bu sayede, astronomi âleminde yeni ufuklar açıldı, geometride de Euklides geometrisi dışı başka sistemler kuruldu.

Advertisement


Leave A Reply