Gradyan Nedir? Gradyan Ne İşe Yarar? Matematiksel Formülleri Nelerdir?

0

Gradyan nedir? Gradyan ne işe yarar, neyin gösterilişidir? Gradyan hakkında bilgi. Gradt-yan tanımı ile birlite gradyanın formüller ile izah edilmesi.

Matematik Bölümü Taban Puanları

Gradyan; değeri, uzayda bulunduğu yere göre değişen bir fiziksel büyüklüğün yer koordinatlarına göre değişimi ve bu değişimi veren matematiksel gösteriliş. Buna göre uzaydaki bir P (x, y, z) noktasındaki değeri A (x, y, z) olan bir büyüklük, başka bir Q (x+dx, y+dy, z+dz) noktasına yer değiştirdiğinde değeri,

dA = (∂A / ∂x)dx + (∂A / ∂y)dy + (∂A / ∂z) dz kadar değişir.

Ancak birtakım fiziksel büyüklükler, aynı düzeyde bulunan noktalarda, her zaman aynı değere sahiptir. Böylece A büyüklüğü, değeri hep aynı kaldığı noktalardan oluşan bir yüzey belirler. Bu alan içindeki her noktada A’nın değeri aynı olduğunda dA=0’dır. Bir elektrik alan içindeki eş potansiyelli yüzeyler, sıcaklığın hep aynı olduğu hava tabakaları bu tür yüzeylere birer örnektir. Buna karşılık değişik düzeylerdeki noktalardan oluşan yüzeylerde A büyüklüğü de değişik değerler alır. Örneğin iki ayrı eşpotansiyelli yüzey üzerindeki elektriksel gerilimle,iki eş-sıcak hava tabakasındaki sıcaklık eşit değildir. Böylece, eşdüzeyli yüzeyler arasındaki değişimin belirlenebilmesi için A büyüklüğü, bir vektörel büyüklük olarak gözönüne alınmalı, bir başka deyişle A’nın değişimi şiddet bakımından olduğu kadar yön ve doğrultu bakımından da incelenmelidir. Bu durumda A’daki değişim,

dA= (∂A / ∂x) i.i.dx + (∂A / ∂y) j.j.dy + (∂A / ∂z) k.k.dz = {(∂A / ∂x)i + (∂A / ∂y)j + (∂A / ∂z)k } (i.dx+jdy+k.dz)

eşitliğiyle verilir. Burada i, j ve k, sırasıyla 0, y ve z eksenlerine koşut birim vektörlerdir. Böylece dA değişimi, iki vektörün skaler çarpımına eşittir. Bu vektörlerden ikincisi, A büyüklüğünün ölçüldüğü noktalar arasında yerdeğiştirme vektörü;

grad A = (∂A / ∂x)i + (∂A / ∂y)j + (∂A / ∂z)k

biçiminde birincisiyse A’daki değişimi veren vektördür ve A büyüklüğünün gradyanı olarak adlandırılır.


Bir Yorum Yazmak İster misiniz?