Kesik Piramidin Hacminin Hesaplanması Nasıl Yapılır? Örneklerle Konu Anlatımı

0
Advertisement

Kesik Piramidin hacmi nasıl hesaplanır? Detaylı örneklerle konu anlatımı ile konuyu keşfedin. Kesik Piramidin hacim formülü, örnek soruların çözümü ve hesaplanması.

Kesik bir piramidin hacmini hesaplamak için, piramidin taban alanını ve yüksekliğini kullanabiliriz. Aşağıda kesik bir piramidin hacmini hesaplama adımlarını ve örnekli bir konu anlatımını bulabilirsiniz.

Adım 1: Taban Alanını Hesaplayın
Kesik piramidin tabanı genellikle iki farklı şeklin birleşiminden oluşur. İlk adım, bu taban alanlarını hesaplamaktır. Eğer tabanlar dörtgenlerse, her iki dörtgenin alanını hesaplayın ve toplayın. Örneğin, bir kesik piramidin alt tabanı 6 cm x 4 cm ve üst tabanı 3 cm x 2 cm ise, alt taban alanı 6 cm x 4 cm = 24 cm² ve üst taban alanı 3 cm x 2 cm = 6 cm²’dir. Bu örnekte toplam taban alanı 24 cm² + 6 cm² = 30 cm² olur.

Adım 2: Yüksekliği Hesaplayın
Kesik piramidin yüksekliği, üst ve alt tabanlar arasındaki dikey uzaklığı temsil eder. Yüksekliği ölçün veya verilen bir değeri kullanın. Örneğin, kesik piramidin yüksekliği 8 cm olsun.

Adım 3: Hacmi Hesaplayın
Hacmi hesaplarken, taban alanı ile yüksekliği çarpmanız yeterlidir. Hacmi hesaplama formülü şu şekildedir:

Hacim = (1/3) x (Taban Alanı) x Yükseklik

Advertisement

Örneğimize geri dönersek:

Hacim = (1/3) x (30 cm²) x (8 cm)
Hacim = (1/3) x 240 cm³
Hacim = 80 cm³

Bu örnekte, kesik piramidin hacmi 80 cm³’dir. Dikkat etmeniz gereken birkaç önemli nokta şunlardır:

Taban alanı, üst ve alt tabanların alanlarının toplamıdır.
Yükseklik, piramidin üst tabanı ile alt tabanı arasındaki dikey uzaklıktır.
Hacmi hesaplarken birimleri uygun şekilde çarpıp sonucu uygun birimde ifade ettiğinizden emin olun.
Bu adımları takip ederek, herhangi bir kesik piramidin hacmini hesaplayabilirsiniz.

Kesik Piramidin Hacmi

Alt taban alanı G, üst taban alanı G’ ve yüksekliği h olan kesik piramidin hacmi,

  • \displaystyle V=\frac{h}{3}\left( G+G'+\sqrt{G.G'} \right)

formülü ile de bulunabilir.

Advertisement

Yukarıdaki şekilde,

A(ABCD) = G, A(A’B’C’D’) = G’, kesik piramidin yüksekliği h ve piramidin yüksekliği (h + h’) olmak üzere, kesik piramidin hacmi,

  • \displaystyle V=\frac{1}{3}.G.\left( h+h' \right)-\frac{1}{3}.G'.h'

Şekilde,

  • \displaystyle \frac{G}{G'}=\frac{{{\left( h+h' \right)}^{2}}}{{{\left( h' \right)}^{2}}} veya
  • \displaystyle \frac{\sqrt{G}}{\sqrt{G'}}=\frac{h+h'}{h'} olur. Buradan,
  • \displaystyle h'=\frac{h.\sqrt{G'}}{\sqrt{G}-\sqrt{G'}} değeri yukarıdaki formülden yerine yazılıp düzenlenirse,
  • \displaystyle V=\frac{h}{3}.\left( G+G'+\sqrt{G.G'} \right) elde edilir.

Örnek:

Yüksekliği 12 cm, tabanının bir kenarı 6 cm olan bir kare piramit tepesinden 8 cm uzaklıkta, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Buna göre, oluşan kesik piramidin hacmini bulalım.

Çözüm

  • | PH | = 12 cm ve |PT| =8 cm ise
  • |TH | = 12-8 = 4 cm olur.
  • \displaystyle \frac{\left| PT \right|}{\left| PH \right|}=\frac{\left| KL \right|}{\left| AB \right|}
  • \displaystyle \frac{8}{12}=\frac{\left| KL \right|}{6}\Rightarrow \left| KL \right|=4cm
  • Kesik piramidin hacmi = \displaystyle \frac{h}{3}.\left( G+G'+\sqrt{G.G'} \right)
  • \displaystyle G={{6}^{2}}=36c{{m}^{2}}
    \displaystyle G'={{4}^{2}}=16c{{m}^{2}}
  • \displaystyle h=\left| TH \right|=4cm
  • \displaystyle V=\frac{4}{3}.\left( 36+16+\sqrt{36.16} \right)
  • \displaystyle V=\frac{4}{3}.\left( 52+24 \right)
  • \displaystyle V=\frac{304}{3}c{{m}^{3}} bulunur.

Örnek:

| NM | = 4 cm
| AB | =8 cm
Şekilde, bir kare piramidin tabanına paralel bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen kesik piramit görülmektedir. Buna göre, (B, KLMN) piramidinin hacminin kesik piramidin hacmine oranını bulalım.

Çözüm

Kesik piramidi, tepe noktası P olan piramide tamamlayalım. Burada, PKL ile PAB üçgenleri benzerdir. | KL| = 4 cm ve | AB | = 8 cm olduğundan, (P,KLMN) piramidinin yüksekliği h olursa, (P, ABCD) piramidinin yüksekliği 2h olur.

(P, KLMN) ve (B, KLMN) piramitlerinin taban ve yükseklikleri eşit olduğundan, Hacim(P, KLMN) = Hacim(B, KLMN) olur.

Advertisement

\displaystyle \frac{\text{Hacim(P}\text{, KLMN)}}{\text{Hacim(P}\text{, ABCD)}}={{\left( \frac{4}{8} \right)}^{3}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8}

  • Hacim(P, KLMN) = Hacim(B, KLMN) = H dersek,
  • Hacim(P, ABCD) = 8H ve

kesik piramidin hacmi = 7H olur. Buna göre, \displaystyle \frac{\text{Hacim(B}\text{, KLMN)}}{\text{Hacim(Kesik piramit)}}=\frac{H}{7H}=\frac{1}{7} bulunur.


Leave A Reply