i Sayısının Kuvvetleri

i sayısının kuvvetleri nasıl hesaplanır, i sayısının kuvvetleri ile ilgili sorular, çözümler, konu anlatımı.

i Sayısının Kuvvetleri

$\displaystyle i=\sqrt{-1}$
$\displaystyle {{i}^{2}}=-1$
$\displaystyle {{i}^{3}}=-i$
$\displaystyle {{i}^{4}}=1$

Buradan i sayısının tamsayı kuvvetlerinden i, -1, -i, 1 sayılarının periyodik olarak bulunacağını gösterebiliriz.
n∈Ζ olmak üzere;

$\displaystyle {{i}^{n}}=1\Rightarrow n\equiv 0(\bmod 4)$
$\displaystyle {{i}^{n}}=i\Rightarrow n\equiv 1(\bmod 4)$
$\displaystyle {{i}^{n}}=-1\Rightarrow n\equiv 2(\bmod 4)$
$\displaystyle {{i}^{n}}=-i\Rightarrow n\equiv 3(\bmod 4)$

Örnek:

a) $\displaystyle {{i}^{20}}$
b) $\displaystyle {{i}^{43}}$
c) $\displaystyle {{i}^{1002}}$
d) $\displaystyle {{i}^{2007}}$

sayılarının eşitini bulunuz.

Çözüm:

$\displaystyle {{i}^{4}}=1$ olduğunu hatırlayalım.

a) $\displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{5}}={{\left( 1 \right)}^{5}}=1$

b) $\displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{10}}.{{i}^{3}}={{i}^{3}}=-i$

c) $\displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{250}}.{{i}^{2}}={{i}^{2}}=-1$

d) $\displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{501}}.{{i}^{3}}={{i}^{3}}=-i$

Örnek:

$\displaystyle \frac{{{i}^{3}}+{{i}^{5}}+{{i}^{6}}}{{{i}^{2}}+2}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

$\displaystyle \frac{-i+{{i}^{4}}.i+{{i}^{4}}.{{i}^{2}}}{-1+2}=\frac{-i+1.i+1.(-1)}{1}=-i+i-1=-1$

Örnek:

$\displaystyle \frac{{{i}^{-3}}-{{i}^{-4}}+{{i}^{-5}}}{{{i}^{-6}}-{{i}^{-7}}+{{i}^{-8}}}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

Verilen ifadenin payı ve paydası $\displaystyle {{i}^{8}}$ ile genişletilirse,

$\displaystyle \frac{{{i}^{5}}-{{i}^{4}}+{{i}^{3}}}{{{i}^{2}}-i+1}=\frac{{{i}^{3}}\left( {{i}^{2}}-i+1 \right)}{{{i}^{2}}-i+1}={{i}^{3}}=-i$

Örnek:

$\displaystyle \left( {{i}^{11}}+1 \right).\left( {{i}^{12}}+1 \right).\left( {{i}^{13}}+1 \right)...\left( {{i}^{17}}+1 \right)$ ifadesinin değeri kaçtır?