i Sayısının Kuvvetleri

0

i sayısının kuvvetleri nasıl hesaplanır, i sayısının kuvvetleri ile ilgili sorular, çözümler, konu anlatımı.

i Sayısının Kuvvetleri

\displaystyle i=\sqrt{-1}
\displaystyle {{i}^{2}}=-1
\displaystyle {{i}^{3}}=-i
\displaystyle {{i}^{4}}=1

Advertisement

Buradan i sayısının tamsayı kuvvetlerinden i, -1, -i, 1 sayılarının periyodik olarak bulunacağını gösterebiliriz.
n∈Ζ olmak üzere;

\displaystyle {{i}^{n}}=1\Rightarrow n\equiv 0(\bmod 4)
\displaystyle {{i}^{n}}=i\Rightarrow n\equiv 1(\bmod 4)
\displaystyle {{i}^{n}}=-1\Rightarrow n\equiv 2(\bmod 4)
\displaystyle {{i}^{n}}=-i\Rightarrow n\equiv 3(\bmod 4)

Örnek:

a) \displaystyle {{i}^{20}}
b) \displaystyle {{i}^{43}}
c) \displaystyle {{i}^{1002}}
d) \displaystyle {{i}^{2007}}

Advertisement

sayılarının eşitini bulunuz.

Çözüm:

\displaystyle {{i}^{4}}=1 olduğunu hatırlayalım.

a) \displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{5}}={{\left( 1 \right)}^{5}}=1

b) \displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{10}}.{{i}^{3}}={{i}^{3}}=-i

c) \displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{250}}.{{i}^{2}}={{i}^{2}}=-1

Advertisement

d) \displaystyle {{\left( {{i}^{4}} \right)}^{501}}.{{i}^{3}}={{i}^{3}}=-i

Örnek:

\displaystyle \frac{{{i}^{3}}+{{i}^{5}}+{{i}^{6}}}{{{i}^{2}}+2} ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

\displaystyle \frac{-i+{{i}^{4}}.i+{{i}^{4}}.{{i}^{2}}}{-1+2}=\frac{-i+1.i+1.(-1)}{1}=-i+i-1=-1

Örnek:

\displaystyle \frac{{{i}^{-3}}-{{i}^{-4}}+{{i}^{-5}}}{{{i}^{-6}}-{{i}^{-7}}+{{i}^{-8}}} ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

Verilen ifadenin payı ve paydası \displaystyle {{i}^{8}} ile genişletilirse,

\displaystyle \frac{{{i}^{5}}-{{i}^{4}}+{{i}^{3}}}{{{i}^{2}}-i+1}=\frac{{{i}^{3}}\left( {{i}^{2}}-i+1 \right)}{{{i}^{2}}-i+1}={{i}^{3}}=-i

Örnek:

Advertisement

\displaystyle \left( {{i}^{11}}+1 \right).\left( {{i}^{12}}+1 \right).\left( {{i}^{13}}+1 \right)...\left( {{i}^{17}}+1 \right) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

Verilen ifadede \displaystyle {{i}^{14}}+1 değeri incelenirse,

\displaystyle {{i}^{14}}+1={{\left( {{i}^{4}} \right)}^{3}}.{{i}^{2}}+1={{1}^{3}}.\left( -1 \right)+1=-1+1=0

olduğu görülür. Böylece sonuç 0’dır.


Leave A Reply