Son Yazılar :
NKFUCOM
NKFUCOM

İki Karmaşık Sayı Arasındaki Uzaklık

0
By on Bilgi Dünyası
Advertisement

İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık nasıl hesaplanır, konu anlatımı, örnek çözümlü sorular.

İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK

z1 ve z2 karmaşık sayıları arasındaki uzaklık iki karmaşık sayıyı birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.

z1 = a + ib ve z2 = x + iy olsun.

karmasik-sayi-uzaklik-1

Dik üçgende Pisagor bağıntısı yazılırsa;

\displaystyle d=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}}

Advertisement

\displaystyle =\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right| elde edilir.

Örnek:

z1 = 3 + 2i ve z2 = -2 – 10i karmaşık sayıları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

\displaystyle d=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|

\displaystyle =\left| 3+2i-\left( -2-10i \right) \right|

Advertisement

\displaystyle =\left| 5+12i \right|=\sqrt{25+144}=13

Örnek:

z = x+iy sayısı veriliyor.

\displaystyle \left| z-2 \right|=\sqrt{{{y}^{2}}+y-4} eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsü nedir?

Çözüm:

\displaystyle \left| x+iy-2 \right|=\sqrt{{{y}^{2}}+y-4}
\displaystyle \left| \left( x-2 \right)+iy \right|=\sqrt{{{y}^{2}}+y-4}

\displaystyle {{\left( \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{{{y}^{2}}+y-4} \right)}^{2}}

\displaystyle {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}={{y}^{2}}+y-4

\displaystyle y={{x}^{2}}-4x+8

karmasik-sayi-uzaklik-2

Örnek:

Advertisement

\displaystyle \left| z-1 \right|=\left| z+2i \right| eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntülerini bulunuz.

Çözüm:

\displaystyle z=x+iy olsun,
\displaystyle \left| x+iy-1 \right|=\left| x+iy+2i \right| den,
\displaystyle \left| \left( x-1 \right)+iy \right|=\left| x+i\left( y+2 \right) \right| olur.

\displaystyle {{\left( \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}} \right)}^{2}}

\displaystyle {{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4 ve

\displaystyle y=\frac{-x}{2}-\frac{3}{4}

karmasik-sayi-uzaklik-3

Örnek:

\displaystyle \left| z-2 \right|<\left| z+1+i \right| eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntülerini bulunuz.

Çözüm:

z = x + yi olsun.

Advertisement

\displaystyle \left| x-2+yi \right|<\left| x+1+i.\left( y+1 \right) \right|

\displaystyle \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}<\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}

her iki tarafın karesi alınırsa,

\displaystyle {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}<{{x}^{2}}+2x+1+{{y}^{2}}+2y+1

\displaystyle 2<6x+2y
\displaystyle 1<3x+y

karmasik-sayi-uzaklik-4

Örnek:

\displaystyle \left| \frac{z+i}{z-2} \right|\le 1 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntülerini bulunuz.

Çözüm:

z= x+yi olsun

\displaystyle \left| \frac{z+i}{z-2} \right|\le 1\Rightarrow \left| z+i \right|\le \left| z-2 \right|

Advertisement

\displaystyle \left| x+i.\left( y+1 \right) \right|\le \left| \left( x-2 \right)+yi \right|

\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}\le \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}

her iki tarafın karesi alınırsa,

\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y+1\le {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}

\displaystyle 2y+4x\le 3

karmasik-sayi-uzaklik-5


Leave A Reply