İkinci Dereceden Denklem Nedir? Nasıl Çözülür? Özellikleri Hesaplanması

İkinci dereceden denklem nedir, özellikleri nelerdir? İkinci dereceden denklemlerde bulunan değişken sayısı, çözümü hakkında bilgi.

İkinci Dereceden Denklem

İkinci dereceden denklem, kuvadratik denklem olarak da bilinir, matematikte, ikinci kuvvete yükseltilmiş en az bir değişken içeren cebirsel denklem. Bir değişkenli ikinci dereceden denklemin genel biçimi, a, b, c rasgele sabitler (parametreler) olmak üzere ve a sıfırdan farklı olmak koşuluyla, $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ olarak verilir. Böyle bir denklemin iki kökü vardır (bu iki kök birbirine eşit olabilir), bu kökler,

$\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$

formülüyle verilir. Bu formüldeki $\displaystyle {{b}^{2}}-4ac$ ifadesine denklemin diskriminantı denir; diskriminantın değeri, köklerin niteliğine (sanal ya da gerçek, birbirine eşit ya da değil) ilişkin bilgi verir. Eğer $\displaystyle y=a{{x}^{2}}+bx+c$ eğrisi çizilirse, gerçek köklerin, bu eğrinin x eksenini kestiği noktaların apsisleri olduğu görülür. Bu eşitlik iki boyutlu Eukleides uzayında (E2) parabole, üç boyutlu Eukleides uzayında ise (E3) parabolik silindir olarak adlandırılan bir yüzeye karşılık gelir. İki değişkenli ikinci dereceden denklemin genel biçimi $\displaystyle a{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}+dx+ey+f=0$ olarak verilir; burada a, b, c, d, e, f, a≠0 ve c≠0 olmak koşuluyla, rasgele sabitlerdir. Bu denklemin belirli bir formülle verilen diskriminantının değeri ile $\displaystyle {{b}^{2}}-4ac$ ifadesinin değeri, denkleme karşılık gelen eğrinin türü hakkında bilgi sağlar. E2’de bu eğri ya bir konik (daire, elips, hiperbol, parabol) ya da yozlaşmış koniktir (örn. kesişen iki doğru).

Nasıl Çözülür?

İkinci dereceden denklemler, genel olarak aşağıdaki formatta yazılır:

ax^2 + bx + c = 0

Burada a, b ve c gerçel sayılardır ve a sıfırdan farklıdır. Bu denklemin çözümü için aşağıdaki adımları izleyebilirsiniz:

Denklemin sol tarafına 0 ekleyin, böylece denklemi şu şekle getirin:

ax^2 + bx + c – 0 = 0

Denklemin çözümü için kullanacağınız formülü hatırlayın:

x = [-b ± sqrt(b^2 – 4ac)] / 2a

Formüldeki b, a ve c katsayılarını denklemdeki değerlerle değiştirin:

x = [-b ± sqrt(b^2 – 4ac)] / 2a

Karekök içindeki değerin pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak, iki farklı çözüm olacaktır:

x1 = (-b + sqrt(b^2 – 4ac)) / 2a

x2 = (-b – sqrt(b^2 – 4ac)) / 2a

Örneğin, x^2 + 3x – 10 = 0 ikinci dereceden bir denklem olsun. Bu denklemin çözümü aşağıdaki gibidir:

a = 1, b = 3 ve c = -10 olacak şekilde katsayıları belirleyin.

x1 = (-3 + sqrt(3^2 – 4(1)(-10))) / 2(1) = 2

x2 = (-3 – sqrt(3^2 – 4(1)(-10))) / 2(1) = -5

Bu durumda, denklemin çözümleri x = 2 ve x = -5’tir.

Üç değişkenli ikinci dereceden denklem

Üç değişkenli ikinci dereceden denklemin genel biçiminde x², y², z²’li terimler ile x, y, z’yi ve bunların ikişer ikişer çarpımlarını içeren terimler ve sabit terim bulunur. Bu denklem, E3’te, katsayılarının uyduğu koşullara bağlı olarak, ikinci dereceden yüzeylere (elipsoit, bir ya da iki yapraklı hiperboloit, eliptik ya da hiperbolik paraboloit, koni yüzeyi) karşılık gelir.