İşaret Fonksiyonu Nedir? Özellikleri Hesaplaması Örnekler Konu Anlatımı

İşaret fonksiyonu nedir? İşaret fonksiyonu özellikleri nelerdir? Hesaplanması, örnekleri, soruların çözümleri, konu anlatımı.

İşaret Fonksiyonu

İŞARET FONKSİYONU KONU ANLATIMI

$\displaystyle A\subset R$ olmak üzere $\displaystyle f:A\to R$ fonksiyonu için

$\displaystyle g\left( x \right)=Sgn\left( f\left( x \right) \right)=-1;f\left( x \right)<0$ $\displaystyle g\left( x \right)=Sgn\left( f\left( x \right) \right)=0;f\left( x \right)=0$ $\displaystyle g\left( x \right)=Sgn\left( f\left( x \right) \right)=1;f\left( x \right)>0$

şeklinde tanımlanan $\displaystyle g:A\to R$ fonksiyonunu f nin işaret fonksiyonu denir.

ÖRNEK:

$\displaystyle Sgn\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)+1=0$ denkleminin R deki çözüm kümesini bulalım.

$\displaystyle Sgn\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)+1=0$
$\displaystyle \Rightarrow Sgn\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=-1$
$\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+3x+2<0$ olması gerekir.
$\displaystyle \Rightarrow \left( x+1 \right)\left( x+2 \right)<0$
$\displaystyle {{x}_{1}}=-1$
$\displaystyle {{x}_{2}}=-2$
$\displaystyle =(-2,-1)$ olur.

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle f:A\to R;f\left( x \right)=\frac{1}{1-Sgn({{x}^{2}}+x)}$

fonksiyonunun en geniş tanım kümesini yazalım.
$\displaystyle 1-Sgn\left( {{x}^{2}}+x \right)\ne 0$ olması gerekir.
$\displaystyle \Rightarrow 1=Sgn\left( {{x}^{2}}+x \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+x>0$
$\displaystyle T=\left[ -1,0 \right]$ olur.

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle 3.Sgn\left( \frac{x+1}{2x+3} \right)>1$ eşitsizliğinin R deki çözüm kümesini yazalım.

$\displaystyle 3.Sgn\left( \frac{x+1}{2x+3} \right)>1\Rightarrow Sgn\left( \frac{x+1}{2x+3} \right)>\frac{1}{3}$

Sgn f(x) in 1/3 ten büyük olduğu değerler için f(x)>0 olmalıdır.
Buna göre; $\displaystyle \frac{x+1}{2x+3}>0$
Ç= R-[-3/2,-1] olur.

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle f:R\to R,f(x)=Sgn({{x}^{2}}-1)$ fonksiyonu parçalı bir biçimde yazalım ve grafiğini çizelim.

$\displaystyle {{x}^{2}}-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

İşaret Fonksiyonu
$\displaystyle f(x)=1:x<1\vee x>1$
$\displaystyle f(x)=0:x=1\vee x=1$
$\displaystyle f(x)=-1:-1<x<1$

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle f=R\to Rf\left( x \right)=\left| x \right|+Sgn\left( x+1 \right)$

$\displaystyle g=R\to Rg\left( x \right)=2x+1$

(gof)(x) fonksiyonunu parçalı bir biçimde yazıp grafiğini çizelim.
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=2\left[ \left| x \right|+Sgn\left( x+1 \right) \right]+1$

İşaret Fonksiyonu

$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x-2+1;x<-1$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2+0+1;x=-1$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x+2+1;-1<x<0$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2+1;x=0$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2x+2+1;x>0$

$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x-1;x<-1$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=3;x=-1\vee x=0$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x+3;-1<x<0$ $\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2x+3;x>0$