İşaret Fonksiyonu Nedir? Özellikleri Hesaplaması Örnekler Konu Anlatımı

İşaret fonksiyonu nedir? İşaret fonksiyonu özellikleri nelerdir? Hesaplanması, örnekleri, soruların çözümleri, konu anlatımı.

İşaret Fonksiyonu

İşaret fonksiyonu, matematikte sık kullanılan bir fonksiyondur. Genellikle $sgn(x)$ veya $\mathrm{sign}(x)$ ile gösterilir ve bir gerçek sayıyı girdi olarak alır ve onun pozitif, negatif veya sıfır olduğunu belirten bir çıktı üretir. Yani işaret fonksiyonu, girdi sayısının işaretine (pozitif, negatif veya sıfır) bağlı olarak, sırasıyla -1, 0 veya 1 değerlerini verir. Bu fonksiyon, matematiksel işlemlerde, özellikle de fonksiyonların davranışlarını incelemek için kullanılır.

İŞARET FONKSİYONU KONU ANLATIMI

$\displaystyle A\subset R$ olmak üzere $\displaystyle f:A\to R$ fonksiyonu için

$\displaystyle g\left( x \right)=Sgn\left( f\left( x \right) \right)=-1;f\left( x \right)<0$ $\displaystyle g\left( x \right)=Sgn\left( f\left( x \right) \right)=0;f\left( x \right)=0$ $\displaystyle g\left( x \right)=Sgn\left( f\left( x \right) \right)=1;f\left( x \right)>0$

şeklinde tanımlanan $\displaystyle g:A\to R$ fonksiyonunu f nin işaret fonksiyonu denir.

ÖRNEK:

$\displaystyle Sgn\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)+1=0$ denkleminin R deki çözüm kümesini bulalım.
$\displaystyle Sgn\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)+1=0$
$\displaystyle \Rightarrow Sgn\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=-1$
$\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+3x+2<0$ olması gerekir.
$\displaystyle \Rightarrow \left( x+1 \right)\left( x+2 \right)<0$
$\displaystyle {{x}_{1}}=-1$
$\displaystyle {{x}_{2}}=-2$
$\displaystyle =(-2,-1)$ olur.

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle f:A\to R;f\left( x \right)=\frac{1}{1-Sgn({{x}^{2}}+x)}$
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini yazalım.
$\displaystyle 1-Sgn\left( {{x}^{2}}+x \right)\ne 0$ olması gerekir.
$\displaystyle \Rightarrow 1=Sgn\left( {{x}^{2}}+x \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+x>0$
$\displaystyle T=\left[ -1,0 \right]$ olur.

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle 3.Sgn\left( \frac{x+1}{2x+3} \right)>1$ eşitsizliğinin R deki çözüm kümesini yazalım.
$\displaystyle 3.Sgn\left( \frac{x+1}{2x+3} \right)>1\Rightarrow Sgn\left( \frac{x+1}{2x+3} \right)>\frac{1}{3}$
Sgn f(x) in 1/3 ten büyük olduğu değerler için f(x)>0 olmalıdır.
Buna göre; $\displaystyle \frac{x+1}{2x+3}>0$
Ç= R-[-3/2,-1] olur.

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle f:R\to R,f(x)=Sgn({{x}^{2}}-1)$ fonksiyonu parçalı bir biçimde yazalım ve grafiğini çizelim.
$\displaystyle {{x}^{2}}-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

İşaret Fonksiyonu
$\displaystyle f(x)=1:x<1\vee x>1$
$\displaystyle f(x)=0:x=1\vee x=1$
$\displaystyle f(x)=-1:-1<x<1$

İşaret Fonksiyonu

ÖRNEK:

$\displaystyle f=R\to Rf\left( x \right)=\left| x \right|+Sgn\left( x+1 \right)$
$\displaystyle g=R\to Rg\left( x \right)=2x+1$
(gof)(x) fonksiyonunu parçalı bir biçimde yazıp grafiğini çizelim.
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=2\left[ \left| x \right|+Sgn\left( x+1 \right) \right]+1$

İşaret Fonksiyonu

$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x-2+1;x<-1$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2+0+1;x=-1$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x+2+1;-1<x<0$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2+1;x=0$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2x+2+1;x>0$

$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x-1;x<-1$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=3;x=-1\vee x=0$
$\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=-2x+3;-1<x<0$ $\displaystyle \left( gof \right)\left( x \right)=2x+3;x>0$