İşlemin Özellikleri (Matematik)

0

Matematikte işlemler konusu, işlemin özellikleri nelerdir? Kapalılık, birleşme, etkisiz eleman, ters eleman özellikleri konu anlatımı.

İŞLEMLER

A ve B boş olmayan iki küme olsun. A x A dan B kümesine tanımlanan her fonksiyona A üzerinde bir ikili işlem veya kısaca, işlem denir.

Advertisement

Her işlem f : A x A → B biçiminde bir fonksiyondur.

(x,y) → z

Bu fonksiyonlar \displaystyle +,-,.,\div ,\cup ,\cap ,*,\odot ,\oplus ,\Delta ,\square ,.... gibi sembollerle gösterilir.

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

A kümesi üzerinde bir * işlemi tanımlı olsun.

Advertisement

I. Kapalılık Özelliği

∀ a , b ∈ A için (a * b) ∈ A ise A kümesi * işlemine göre kapalıdır denir.

II. Değişme Özelliği

∀ a , b ∈ A için a * b = b * a ise * işleminin değişme özelliği vardır denir.

III. Birleşme Özelliği

∀ a , b , c ∈ A için (a * b) * c = a * (b * c) ise * işleminin birleşme özelliği vardır denir.

IV. Birim (Etkisiz) Eleman

∀ a ∈ A için a*e = e*a = a olacak biçimde, A da bir e elemanı varsa bu e elemanına A kümesinin * işlemine göre birim (etkisiz) elemanı denir.

Bir işlemde etkisiz eleman varsa bir tanedir. Birden fazla etkisiz eleman bulunuyorsa, işlemin etkisiz elemanı yoktur.

V. Ters Eleman

e birim elemanı ve a ∈ A için

Advertisement

\displaystyle a*{{a}^{-1}}={{a}^{-1}}*a=e olacak şekilde

bir \displaystyle {{a}^{-1}}\in A varsa bu \displaystyle {{a}^{-1}} sayısına a nın

* işlemine göre tersi denir.

Reel sayılarda toplama işleminin birim elemanı 0 dır.

Her x ∈ R için x + (-x) = (-x) + x = 0 olduğundan, x in toplama işlemine göre tersi, -x tir.

Reel sayılarda çarpma işleminin birim elemanı 1 dir.

Her \displaystyle x\in R-\{0\}\to x.{{x}^{-1}}={{x}^{-1}}.x=1\to {{x}^{-1}}=\frac{1}{x}  dir.

Bir işlemin birim elemanı yoksa ters elemanı da yoktur.

Bir elemanın tersinin tersi kendisidir.

Bir elemanın tersi varsa bir tanedir.

Birim elemanın tersi kendisidir. Fakat tersi kendisine eşit olan, birim elemandan farklı elemanlar da olabilir.

Advertisement

VI. Yutan Eleman

∀ a ∈ A için a*y = y*a = y olacak şekilde bir y ∈ A varsa bu y elemanına A kümesinin * işlemine göre yutan elemanı denir.

Yutan eleman sabit sayıdır.

Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

Bir işlemde yutan eleman varsa bir tanedir. Bazı işlemlerde yutan eleman yoktur.

VII. Dağılma Özelliği

A kümesinde * ve Δ işlemleri tanımlı olsun.

∀ a, b, c ∈ A için

a * (b Δ c) = (a * b) Δ (a * c) ve

(b Δ c) * a = (b * a) Δ (c * a) ise

* işleminin Δ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.


Leave A Reply