Karmaşık Sayılar ve Çember İlişkisi Konu Anlatımı Örnekler Çözümler

0
Advertisement

Karmaşık sayılar ve çember ilişkisi nedir, özellikleri nelerdir? Çözümlü örnek sorular ve karmaşık sayılar ve çember konu anlatımı.

Karmaşık Sayılar ve Çember İlişkisi

KARMAŞIK SAYI VE ÇEMBER

\displaystyle z=x+iy ve \displaystyle {{z}_{0}}={{x}_{0}}+i{{y}_{0}} olmak üzere,

1. \displaystyle \left| z-{{z}_{0}} \right|=r eşitliğini gerçekleyen z karmaşık sayıları \displaystyle {{z}_{0}} merkezli, r yarıçaplı bir çember belirtir.

Karmaşık Sayılar ve Çember

Advertisement

2. \displaystyle \left| z-{{z}_{0}} \right|\langle r eşitliği \displaystyle {{z}_{0}} merkezli, r yarıçaplı çemberin iç bölgesidir.

Karmaşık Sayılar ve Çember

3. \displaystyle \left| z-{{z}_{0}} \right|>r eşitsizliği \displaystyle {{z}_{0}} merkezli, r yarıçaplı çemberin dış bölgesidir.

karmasik-sayilar-cember-3

Advertisement

4. \displaystyle {{r}_{2}}\langle \left| z-{{z}_{0}} \right|\langle {{r}_{1}} eşitsizliği bir halka belirtir.

Karmaşık

Örnek:

\displaystyle \left| z-4+5i \right|=2 eşitliğini sağlayan z = x + iy karmaşık sayılarının geometrik yerinin denklemi ve karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulunuz.

Çözüm:

Advertisement

\displaystyle \left| x+iy-4+5i \right|=2
\displaystyle \left| \left( x-4 \right)+i\left( y+5 \right) \right|=2
\displaystyle \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}=2\Rightarrow M(4,-5)
\displaystyle r=2

Karmaşık Sayılar ve Çember

Örnek:

\displaystyle 2\langle \left| z-2-2i \right|\le 3 koşulunu sağlayan z = x + iy karmaşık sayılarının grafiğini karmaşık düzlemde gösteriniz.

Çözüm:

Advertisement

Karmaşık Sayılar ve Çember

Örnek:

\displaystyle \left| z \right|\le 4 olmak üzere \displaystyle \left| z-\left( 8+15i \right) \right| sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

1. Yol

Advertisement

Karmaşık Sayılar ve Çember

\displaystyle \left| z-\left( 8+15i \right) \right| sayısının şekilde görüldüğü gibi alabileceği en küçük değer 13, en büyük değer 21 dir. 13 + 21 =34 tür.

2. yol:

\displaystyle \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| olduğunu hatırlayalım.
\displaystyle \left| \left| z \right|-\left| 8+15i \right| \right|\le \left| z+\left( -8-15i \right) \right|\le \left| z \right|+\left| -8-15i \right|
\displaystyle \left| 4-17 \right|\le \left| z+\left( -8-15i \right) \right|\le 4+17\Rightarrow 13\le \left| z+\left( -8-15i \right) \right|\le 21

Advertisement

olduğuna göre, en küçük değer 13, en büyük değer 21 dir. 13 + 21 =34 tür.

Örnek:

\displaystyle A=\left\{ z:z\in \mathbb{C},\left| z \right|+lm\left( z \right)\le 2 \right\} A kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü nedir?

Çözüm:

\displaystyle z=x+iy olsun.
\displaystyle \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}
\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+y\le 2\Rightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}\le {{\left( 2-y \right)}^{2}}
\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4-4y+{{y}^{2}}
\displaystyle y\le -\frac{{{x}^{2}}}{4}+1

Advertisement

Karmaşık Sayılar ve Çember

Örnek:

\displaystyle B=\left\{ z:\left| z+2i \right|\le \left| z \right| \right\} bağıntısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü nedir?

Çözüm:

\displaystyle z=x+iy olsun

Advertisement

\displaystyle \left| x+iy+2i \right|\le \left| x+iy \right|

\displaystyle \left| x+i\left( y+2 \right) \right|\le \left| x+iy \right|\Rightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}} \right)}^{2}}\le {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}

\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}
\displaystyle y\le -1

Karmaşık Sayılar ve Çember

Advertisement

Örnek:

\displaystyle 5\le \left| z+2 \right|\le 7 eşitsizliğinin belirttiği bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm:

\displaystyle {{A}_{1}}=\pi {{.7}^{2}}

\displaystyle {{A}_{2}}=\pi {{.5}^{2}}

Advertisement

Karmaşık Sayılar ve Çember


Bir Yorum Yazmak İster misiniz?