Karmaşık Sayılar ve Çember İlişkisi Konu Anlatımı Örnekler Çözümler

Karmaşık sayılar ve çember ilişkisi nedir, özellikleri nelerdir? Çözümlü örnek sorular ve karmaşık sayılar ve çember konu anlatımı.

Karmaşık Sayılar ve Çember İlişkisi

KARMAŞIK SAYI VE ÇEMBER

$\displaystyle z=x+iy$ ve $\displaystyle {{z}_{0}}={{x}_{0}}+i{{y}_{0}}$ olmak üzere,
$\displaystyle \left| z-{{z}_{0}} \right|=r$ eşitliğini gerçekleyen z karmaşık sayıları $\displaystyle {{z}_{0}}$ merkezli, r yarıçaplı bir çember belirtir.

Karmaşık Sayılar ve Çember

$\displaystyle \left| z-{{z}_{0}} \right|\langle r$ eşitliği $\displaystyle {{z}_{0}}$ merkezli, r yarıçaplı çemberin iç bölgesidir.

Karmaşık Sayılar ve Çember

$\displaystyle \left| z-{{z}_{0}} \right|>r$ eşitsizliği $\displaystyle {{z}_{0}}$ merkezli, r yarıçaplı çemberin dış bölgesidir.

karmasik-sayilar-cember-3

$\displaystyle {{r}_{2}}\langle \left| z-{{z}_{0}} \right|\langle {{r}_{1}}$ eşitsizliği bir halka belirtir.

Karmaşık

Örnek:

$\displaystyle \left| z-4+5i \right|=2$ eşitliğini sağlayan z = x + iy karmaşık sayılarının geometrik yerinin denklemi ve karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulunuz.

Çözüm:

$\displaystyle \left| x+iy-4+5i \right|=2$
$\displaystyle \left| \left( x-4 \right)+i\left( y+5 \right) \right|=2$
$\displaystyle \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}=2\Rightarrow M(4,-5)$
$\displaystyle r=2$

Karmaşık Sayılar ve Çember

Örnek:

$\displaystyle 2\langle \left| z-2-2i \right|\le 3$ koşulunu sağlayan z = x + iy karmaşık sayılarının grafiğini karmaşık düzlemde gösteriniz.

Çözüm:

Karmaşık Sayılar ve Çember

Örnek:

$\displaystyle \left| z \right|\le 4$ olmak üzere $\displaystyle \left| z-\left( 8+15i \right) \right|$ sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

1. Yol

Karmaşık Sayılar ve Çember

$\displaystyle \left| z-\left( 8+15i \right) \right|$ sayısının şekilde görüldüğü gibi alabileceği en küçük değer 13, en büyük değer 21 dir. 13 + 21 =34 tür.

2. yol:

$\displaystyle \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ olduğunu hatırlayalım.
$\displaystyle \left| \left| z \right|-\left| 8+15i \right| \right|\le \left| z+\left( -8-15i \right) \right|\le \left| z \right|+\left| -8-15i \right|$
$\displaystyle \left| 4-17 \right|\le \left| z+\left( -8-15i \right) \right|\le 4+17\Rightarrow 13\le \left| z+\left( -8-15i \right) \right|\le 21$ olduğuna göre, en küçük değer 13, en büyük değer 21 dir. 13 + 21 =34 tür.

Örnek:

$\displaystyle A=\left\{ z:z\in \mathbb{C},\left| z \right|+lm\left( z \right)\le 2 \right\}$ A kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü nedir?

Çözüm:

$\displaystyle z=x+iy$ olsun.
$\displaystyle \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+y\le 2\Rightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}\le {{\left( 2-y \right)}^{2}}$
$\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4-4y+{{y}^{2}}$
$\displaystyle y\le -\frac{{{x}^{2}}}{4}+1$

Karmaşık Sayılar ve Çember

Örnek:

$\displaystyle B=\left\{ z:\left| z+2i \right|\le \left| z \right| \right\}$ bağıntısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü nedir?

Çözüm:

$\displaystyle z=x+iy$ olsun
$\displaystyle \left| x+iy+2i \right|\le \left| x+iy \right|$
$\displaystyle \left| x+i\left( y+2 \right) \right|\le \left| x+iy \right|\Rightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}} \right)}^{2}}\le {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}$
$\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
$\displaystyle y\le -1$