Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi nasıl yapılır, özellikleri nelerdir? Konu anlatımı ve örnek çözümlü sorular.

Karmaşık Sayılarda Çarpma

$\displaystyle {{z}_{1}}=a+ib$ ve $\displaystyle {{z}_{2}}=x+iy$ olmak üzere,

$\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( a+ib \right).\left( x+iy \right)$

$\displaystyle =ax+aiy+ibx+{{i}^{2}}by\left( {{i}^{2}}=-1 \right)$

$\displaystyle =ax+aiy+ibx-by$

$\displaystyle =\left( ax-by \right)+i\left( ay+bx \right)$

Örnek:

a) z1 = 1 + i
z2 = 3 – 4i

b) z1 = -2i
z2 = 1 – i

c) z1 = 1 -2i
z2 = 2-i

d)z1 = 4
z2 = 6 + i

yukarıda verilen z1 ve z2 sayı çiftleri için z1 .z2 işlemini yapınız.

Çözüm:

a) $\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 1+i \right).\left( 3-4i \right)$

$\displaystyle =3-4i+3i-4{{i}^{2}}$
$\displaystyle \left( {{i}^{2}}=-1 \right)$
$\displaystyle =7-i$

b) $\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( -2i \right).\left( 1-i \right)$

$\displaystyle \left( {{i}^{2}}=-1 \right)$
$\displaystyle =-2i+2{{i}^{2}}$
$\displaystyle =-2-2i$

c) $\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 1-2i \right).\left( 2-i \right)$
$\displaystyle \left( {{i}^{2}}=-1 \right)$
$\displaystyle =2-i-4i+2{{i}^{2}}$
$\displaystyle =-5i$

d) $\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=4\left( 6+i \right)=24+4i$

Çarpma İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık Özelliği

$\displaystyle {{\text{z}}_{1}}\text{ = a + ib}$ ve $\displaystyle {{\text{z}}_{2}}\text{ = c + id}$ olmak üzere,

$\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$

$\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}\in \mathbb{C}$ olduğundan karmaşık sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalılık özelliğini sağlar.

2. Birleşme Özelliği

$\displaystyle {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ karmaşık sayı olmak üzere

$\displaystyle \left( {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right).{{z}_{3}}={{z}_{1}}.\left( {{z}_{2}}.{{z}_{3}} \right)$ eşitliği sağlandığından birleşme özelliği vardır.

3. Birim Eleman Özelliği

$\displaystyle {{z}_{1}}=a+ib$ ve $\displaystyle {{z}_{2}}=1+0i$ olmak üzere,

$\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{z}_{2}}.{{z}_{1}}={{z}_{1}}$ olduğundan çarpma işlemine göre birim eleman 1 + Oi dir.

4. Değişme Özelliği

$\displaystyle {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C}$ olmak üzere,

$\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{z}_{2}}.{{z}_{1}}$ olduğundan çarpma işlemine göre değişme özelliği vardır.

5. Ters Eleman Özelliği

$\displaystyle z\in \mathbb{C},z\ne 0$

$\displaystyle z.{{z}^{-1}}=1\Rightarrow {{z}^{-1}}$ sayısı, z sayısının çarpma işlemine göre tersidir.

6. Dağılma Özelliği

$\displaystyle z.\left( {{z}_{1}}\mp {{z}_{2}} \right)=z.{{z}_{1}}\mp z.{{z}_{2}}$ olduğundan dağılma özelliği vardır.

Bu nedenle $\displaystyle \left( \mathbb{C}-\left\{ 0 \right\},. \right)$ sistemi karmaşık sayılarda çarpma işlemine göre bir gruptur.
$\displaystyle \left( \mathbb{C}-\left\{ 0 \right\},. \right)$ sistemi karmaşık sayılar kümesinde bir cisimdir.