Karmaşık Sayıların Kutupsal Yazılımında İşlemler

0
Advertisement

Karmaşık sayıların kutupsal olarak yazılımında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemi, örnek, çözümlü sorular.

Karmaşık Sayıların Kutupsal Yazılımında İşlemler

1. TOPLAMA VE ÇIKARMA

\displaystyle {{z}_{1}}=\sqrt{2}\left( \cos 45{}^\circ +i.\sin 45{}^\circ \right)

\displaystyle {{z}_{2}}=2\left( \cos 150{}^\circ +i.\sin 150{}^\circ \right)

\displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{2}} ve \displaystyle {{z}_{1}}-{{z}_{2}} sayılarını bulmak için önce karmaşık sayılar standart biçime dönüştürülür.

Advertisement

\displaystyle {{z}_{1}}=\sqrt{2}.\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=1+i

\displaystyle {{z}_{2}}=2.\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right)=-\sqrt{3}+i

\displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( 1+i \right)+\left( -\sqrt{3}+i \right)=\left( 1-\sqrt{3} \right)+2i

\displaystyle {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( 1+i \right)-\left( -\sqrt{3}+i \right)=\left( 1+\sqrt{3} \right)+0.i=1+\sqrt{3}

Advertisement

2. ÇARPMA

\displaystyle {{z}_{1}}={{r}_{1}}.cis\theta

\displaystyle {{z}_{2}}={{r}_{2}}.cis\alpha

\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{r}_{1}}.{{r}_{2}}.cis\left( \theta +\alpha \right)

Advertisement

3. BÖLME

\displaystyle \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}.cis\left( \theta -\alpha \right)

Örnek:

\displaystyle {{z}_{1}}=3.cis\frac{5\pi }{6} ve \displaystyle {{z}_{2}}=5.cis\frac{\pi }{6} olduğuna göre, \displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}} kaçtır?

Advertisement

Çözüm:

\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 3.cis\frac{5\pi }{6} \right).\left( 5.cis\frac{\pi }{6} \right)=15.cis\left( \frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{6} \right)

\displaystyle =15.cis\pi =15.\left( \cos \pi +i\sin \pi \right)=-15

Örnek:

Advertisement

karmasik-sayilar-kutupsal-islemler-1

Şekilde \displaystyle {{z}_{1}} ve \displaystyle {{z}_{2}} karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki yeri gösterilmiştir. \displaystyle \left| {{z}_{1}} \right|=2 \displaystyle \left| {{z}_{2}} \right|=2 Buna göre \displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}} kaçtır?

Çözüm:

\displaystyle {{z}_{1}}=2.cis\alpha
\displaystyle {{z}_{2}}=2.cis\left( 90{}^\circ -\alpha \right)

Advertisement

\displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( 2.cis\alpha \right).\left( 2.cis\left( 90{}^\circ -\alpha \right) \right)=4.cis90{}^\circ
\displaystyle =4.\left( \cos 90{}^\circ +i\sin 90{}^\circ \right)=4i

Örnek:

\displaystyle {{z}_{1}}=2cis85{}^\circ
\displaystyle {{z}_{2}}=cis25{}^\circ

olduğuna göre, \displaystyle \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| kaçtır?

Advertisement

Çözüm:

\displaystyle \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| ifadesi \displaystyle {{z}_{1}} ve \displaystyle {{z}_{2}} karmaşık sayıları arasındaki uzaklıktır.

karmasik-sayilar-kutupsal-islemler-2

Taralı üçgende cosinüs teoremi kullanılırsa;

Advertisement

\displaystyle {{k}^{2}}={{2}^{2}}+{{1}^{2}}-2.2.1\cos 60{}^\circ
\displaystyle {{k}^{2}}=4+1-2.2.\frac{1}{2}\Rightarrow {{k}^{2}}=3\Rightarrow k=\sqrt{3}

Örnek:

\displaystyle z=1+\cos 40{}^\circ +i.\sin 40{}^\circ olduğuna göre Arg(z) kaç radyandır?

Çözüm:

Advertisement

\displaystyle z=1+\cos 40{}^\circ +i.\sin 40{}^\circ

\displaystyle z=1+2{{\cos }^{2}}20{}^\circ -1+i.2\sin 20{}^\circ \cos 20{}^\circ

\displaystyle z=2\cos 20{}^\circ .\left( \cos 20{}^\circ +i.\sin 20{}^\circ \right)=2\cos 20{}^\circ cis20{}^\circ

Buradan \displaystyle Arg\left( z \right)=20{}^\circ =\frac{\pi }{9} radyandır.

Advertisement

Örnek:

\displaystyle z=1-\cos 20{}^\circ +i.\sin 20{}^\circ olduğuna göre, Arg(z) kaç derecedir?

Çözüm:

\displaystyle z=1-\cos 20{}^\circ +i.\sin 20{}^\circ

Advertisement

\displaystyle z=1-1+2{{\sin }^{2}}10{}^\circ +i.2\sin 10{}^\circ \cos 10{}^\circ

\displaystyle z=2\sin 10{}^\circ .\left( \sin 10{}^\circ +i.\cos 10{}^\circ \right)

\displaystyle z=2\sin 10{}^\circ .\left( \cos 80{}^\circ +i.\sin 80{}^\circ \right)=2\sin 10{}^\circ .cis80{}^\circ

Buradan \displaystyle Arg(z)=80{}^\circ

Advertisement

Örnek:

\displaystyle z=\frac{\left( \cos 50{}^\circ -i.\sin 50{}^\circ \right).\left( \sin 5{}^\circ +i.\cos 5{}^\circ \right)}{-\cos 25{}^\circ +i.\sin 25{}^\circ } olduğuna göre, z karmaşık sayısının eşiti nedir?

Çözüm:

\displaystyle z=\frac{\left( \cos 50{}^\circ -i.\sin 50{}^\circ \right).\left( \sin 5{}^\circ +i.\cos 5{}^\circ \right)}{-\cos 25{}^\circ +i.\sin 25{}^\circ }

Advertisement

\displaystyle z=\frac{cis\left( -50{}^\circ \right).cis85{}^\circ }{-\left( \cos \left( -25{}^\circ \right)+i.\sin \left( -25{}^\circ \right) \right)}

\displaystyle z=\frac{cis35{}^\circ }{-cis\left( -25{}^\circ \right)}=-cis60{}^\circ =-\left( \cos 60{}^\circ +i.\sin 60{}^\circ \right)

\displaystyle z=-\left( \frac{1}{2}+i.\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i

Advertisement

Leave A Reply