Köklü Fonksiyonların İntegrali Nasıl Hesaplanır? Formüller, Örnek Çözü

Köklü fonksiyonların integrali nasıl hesaplanır, formülleri nelerdir, örnek çözüm? Köklü fonksiyonların integral denklemleri, hesaplanması

Köklü Fonksiyonların İntegrali

Köklü fonksiyonların integralleri genellikle matematikte zor problemler olarak kabul edilir. Ancak, bazı teknikler kullanarak bu tür integralleri hesaplamak mümkündür.

Öncelikle, köklü fonksiyonların integrallerini hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz:

∫√(ax+b) dx = (2a)⁻¹ * (ax+b)^(3/2) + C

∫√(ax²+bx+c) dx = (1/(4a)) * (2ax+b) * √(ax²+bx+c) + (1/(8a^2)) * ln|2ax+b + 2√(a)√(ax²+bx+c)| + C

Burada a, b ve c gerçel sayılardır ve C bir sabittir. Bu formüller, köklü fonksiyonların basit integrallerini hesaplamak için kullanılır.

Örneğin, ∫√(3x+2) dx integralini hesaplayalım:

∫√(3x+2) dx = (2/3) * (3x+2)^(3/2) + C

Şimdi bir örnek daha yapalım. ∫√(x²+2x+5) dx integralini hesaplamak için, önce kare tamamlama yöntemini kullanarak x²+2x+5 ifadesini (x+1)²+4 şekline dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu yaptıktan sonra, yukarıdaki formülü kullanarak integrali hesaplayabiliriz:

∫√(x²+2x+5) dx = (1/4) * (2x+2) * √(x²+2x+5) + (1/8) * ln|2x+2 + 2√(x²+2x+5)| + C

Bu formüller, bazı durumlarda birkaç adım gerektirse de, köklü fonksiyonların integrallerinin hesaplanmasına olanak sağlar.

Örnek yapalım

∫√(x²+6x+5) dx integralini hesaplayalım.

İlk adım olarak kare tamamlama yöntemini kullanarak, x²+6x+5 ifadesini (x+3)²-4 şekline dönüştürebiliriz. Böylece, integralimiz şu şekilde yazılabilir:

∫√(x²+6x+5) dx = ∫√((x+3)²-4) dx

Bu noktada, bir trigonometrik değişken dönüşümü yapabiliriz. x+3 = 2tanθ şeklinde bir değişken dönüşümü yapalım. Bu durumda, dx = 2sec²θdθ olarak yazılabilir.

∫√(x²+6x+5) dx = ∫√((x+3)²-4) dx = ∫√(4tan²θ) * 2sec²θdθ

∫√(x²+6x+5) dx = ∫2sec³θtanθdθ

Integrali çözmek için, şimdi trigonometrik integral formülleri kullanabiliriz.

∫2sec³θtanθdθ = 2/3 * sec³θ + C

Değişken dönüşümü yaptığımızda, x+3 = 2tanθ olduğundan, tanθ = (x+3)/2. Bu durumda, cosθ = 1/√(1+tan²θ) ve secθ = 1/cosθ olur. Bunu kullanarak, integralimizi orijinal değişken x ile ifade edebiliriz:

∫√(x²+6x+5) dx = ∫2sec³θtanθdθ = 2/3 * sec³θ + C = 2/3 * (1/√(1+(x+3)²/4))³ + C

∫√(x²+6x+5) dx = 2/3 * (4/(x+3)²)√(x²+6x+5) + C

Böylece, ∫√(x²+6x+5) dx integralinin çözümü 2/3 * (4/(x+3)²)√(x²+6x+5) + C şeklindedir.

(Formüller)

$\displaystyle 1)\int{\frac{dx}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\displaystyle 2)\int{\frac{xdx}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=-\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$
$\displaystyle 3)\int{\frac{xdx}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$
$\displaystyle 4)\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=-\frac{x}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}arcSin\frac{x}{a}+C$
$\displaystyle 5)\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}+{{a}^{2}}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right| \right)+C$
$\displaystyle 6)\int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}}du=\frac{1}{2}\left( u\sqrt{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}+{{a}^{2}}.arcSin\frac{u}{a} \right)+C$
$\displaystyle 7)\int{\sqrt{{{u}^{2}}\mp {{a}^{2}}}}du=\frac{1}{2}\left( u\sqrt{{{u}^{2}}\mp {{a}^{2}}}\mp {{a}^{2}}\ln \left( u+\sqrt{{{u}^{2}}\mp {{a}^{2}}} \right) \right)+C$

NOT

$\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ ve $\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ yi kapsayan integrallerde;
$\displaystyle *\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ halinde x = a Sinα veya x = a Cosα
$\displaystyle *\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ halinde x = a Secα
$\displaystyle *\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$ halinde x = a Tanα dönüşümleri uygulanır.