Kürenin Alanı ve Hacmi Nasıl Hesaplanır? Formülleri, Örnekler, Hesaplaması

0

Kürenin alanı ve hacmi nasıl hesaplanır? Kürenin alanı ve hacmi hesabı formülü, hacim ve alan soruları ve cevapları örnekleri.

Kürenin Alanı

Kürenin alanı bir büyük dairesinin alanının dört katına eşittir. Yarıçapı r olan bir kürenin alanı,

Advertisement

\displaystyle A=4\pi {{r}^{2}} dir.

Kürenin Hacmi

Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi,

\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}

Örnek:

Yarıçapı 5 cm olan bir kürenin alanını ve hacmini bulalım.

Advertisement

Çözüm

  • Yarıçapı r olan bir kürenin alanı, \displaystyle A=4\pi {{r}^{2}} olduğundan,
    \displaystyle A=4\pi {{.5}^{2}}=100\pi cm² olur.
  • Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi,
  • \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi .{{r}^{3}} olduğundan
  • \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\frac{4}{3}\pi 125=\frac{500}{3}\pi cm³

Not:

Yarıçapları r1 ve r2 olan iki kürenin,

  • alanları oranı \displaystyle \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{2}}
  • hacimleri oranı, \displaystyle \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{3}}

Örnek:

Alanı 400π cm² olan bir kürenin merkezinden 6 cm uzaklıktaki bir düzlemle arakesit dairesinin alanını bulalım.

Çözüm
  • Kürenin alanı, \displaystyle 400\pi =4\pi {{R}^{2}} olduğundan,
  • R = 10 cm bulunur.
  • Şekildeki OMK dik üçgeni (6-8-10) dik üçgeni olduğundan, arakesit dairesinin yarıçapı r = 8 cm olur.
  • Buna göre, arakesit dairesinin alanı,
  • \displaystyle \pi {{r}^{2}}=\pi {{.8}^{2}}=64\pi cm² bulunur.

Örnek

Yarıçapı 4 cm olan küre şeklindeki metal bir cisim eritilerek 8 adet eşit küre yapılıyor.

Advertisement
Buna göre, oluşan küçük kürelerin her birinin alanım bulalım.

Çözüm

Başlangıçtaki büyük kürenin hacmi, 8 adet küçük kürenin hacimleri toplamına eşit olacaktır. Küçük kürelerin yapıçapına r dersek,

  • \displaystyle 8.\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{4}^{3}}
  • 8. r³ = 4.4.4
  • r³ = 8 ⇒  r = 2cm bulunur.
  • Yarıçapı 2 cm olan küçük kürelerin her birinin alanı,
  • \displaystyle 4\pi {{r}^{2}}=4\pi {{.2}^{2}}=16\pi  cm²

Örnek

O ABC kare O, çeyrek dairenin merkezi |OA| =6 cm

Şekildeki taralı bölgenin [OC] kenarı etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulalım.

Çözüm

OABC karesinin döndürülmesi ile bir silindir oluşur. Çeyrek dairenin döndürülmesi ile yarım küre oluşur.

  • O halde taralı bölgenin taradığı hacmi bulmak için silindirin hacminden yarım kürenin hacmini çıkarmamız gerekir.
  • Silindirin hacmi = \displaystyle \pi {{r}^{2}}h
  • Silindirin hacmi = \displaystyle \pi .36.6=216\pi cm³
  • Yarım kürenin hacmi = \displaystyle \frac{2}{3}\pi {{r}^{3}}
  • Yarım kürenin hacmi = \displaystyle \frac{2}{3}\pi 6.6.6=144\pi  cm³
  • İstenen hacim = \displaystyle 216\pi -144\pi =72\pi  cm³


Leave A Reply