Kürenin Alanı ve Hacmi Nasıl Hesaplanır? Formülleri, Örnekler, Hesaplaması

Kürenin alanı bir büyük dairesinin alanının dört katına eşittir. Yarıçapı r olan bir kürenin alanı,

$\displaystyle A=4\pi {{r}^{2}}$ dir.

Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi,

$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$

Yarıçapı 5 cm olan bir kürenin alanını ve hacmini bulalım.

Çözüm

Yarıçapı r olan bir kürenin alanı, $\displaystyle A=4\pi {{r}^{2}}$ olduğundan,
$\displaystyle A=4\pi {{.5}^{2}}=100\pi$ cm² olur.
Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi,
$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi .{{r}^{3}}$ olduğundan
$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\frac{4}{3}\pi 125=\frac{500}{3}\pi$ cm³

Not:

Yarıçapları r1 ve r2 olan iki kürenin,

alanları oranı $\displaystyle \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{2}}$
hacimleri oranı, $\displaystyle \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{3}}$

Alanı 400π cm² olan bir kürenin merkezinden 6 cm uzaklıktaki bir düzlemle arakesit dairesinin alanını bulalım.

Kürenin alanı, $\displaystyle 400\pi =4\pi {{R}^{2}}$ olduğundan,
R = 10 cm bulunur.
Şekildeki OMK dik üçgeni (6-8-10) dik üçgeni olduğundan, arakesit dairesinin yarıçapı r = 8 cm olur.
Buna göre, arakesit dairesinin alanı,
$\displaystyle \pi {{r}^{2}}=\pi {{.8}^{2}}=64\pi$ cm² bulunur.

Yarıçapı 4 cm olan küre şeklindeki metal bir cisim eritilerek 8 adet eşit küre yapılıyor.

Başlangıçtaki büyük kürenin hacmi, 8 adet küçük kürenin hacimleri toplamına eşit olacaktır. Küçük kürelerin yapıçapına r dersek,

O ABC kare O, çeyrek dairenin merkezi |OA| =6 cm

Şekildeki taralı bölgenin [OC] kenarı etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulalım.

OABC karesinin döndürülmesi ile bir silindir oluşur. Çeyrek dairenin döndürülmesi ile yarım küre oluşur.

O halde taralı bölgenin taradığı hacmi bulmak için silindirin hacminden yarım kürenin hacmini çıkarmamız gerekir.
Silindirin hacmi = $\displaystyle \pi {{r}^{2}}h$
Silindirin hacmi = $\displaystyle \pi .36.6=216\pi$ cm³
Yarım kürenin hacmi = $\displaystyle \frac{2}{3}\pi {{r}^{3}}$
Yarım kürenin hacmi = $\displaystyle \frac{2}{3}\pi 6.6.6=144\pi$ cm³
İstenen hacim = $\displaystyle 216\pi -144\pi =72\pi$ cm³