Modüler Aritmetik Konu Anlatımı

0
Advertisement

Modüler aritmetik nedir, nasıl hesaplanır, özellikleri. Örneklerle modüler aritmetik konu anlatımı

MODÜLER ARİTMETİK

a, b sıfırdan farklı tamsayılar ve b>0 olmak üzere, a sayısını b ye bölmek demek, a = m.b+k, 0≤k

moduler-aritmetik-1

Bazı tam sayıların 3 ile bölme işlemini inceleyelim.

Advertisement

moduler-aritmetik-2

Sonuç: 3 ile bölümden kalanların 0,1,2 tamsayılardan biri olduğu görülüyor. Demek ki bir sayı 3 ile bölündüğünde 0,1,2 kalanlarını verir. Aşağıdaki kümeyi inceleyelim:

\displaystyle \begin{array}{l}\overline{0}=\left\{ ....,-9,-6,-3,0,3,6,.... \right\}\\\overline{1}=\left\{ ....,-8,-5,-2,1,4,7,.... \right\}\\\overline{2}=\left\{ ....,-7,-4,-1,2,5,8,... \right\}\end{array}

Burada; bir kümedeki her elemanın 3 ile bölümünden kalanın aynı olduğu, her kümedeki iki elemanın farkının 3 ile bölündüğünü ve bu kümelerin ayrık olup, birleşimlerinin de Zyi verdiğini görüyoruz.

Advertisement

Bu kümelerin z de

\displaystyle \beta =\left\{ \left( x,y \right)\left| \left. 3 \right|x-y \right. \right\} bağıntısının denklik sınıfı oluşturduğunu biliyoruz.

\displaystyle \left. 3 \right|\left( x-y \right) nin anlamı x-y = 3m (m∈Z) dir. Bu durum x = y (mod 3) yazılır ve “x’ denktir y modül 3” diye okunur.

\displaystyle \begin{array}{l}x=3m+k,0\le k<3(k:Kalan)\\x-k=3m\Leftrightarrow x\equiv k(\bmod 3)\end{array}

Advertisement

biçiminde yazılır. Bu ifade x ile k nın aynı denklik sınıfında olduğunu gösterir. Bu denklik sınıfı \displaystyle k ile gösterilir ve

\displaystyle \overline{k}=\left\{ x:x=3m+k;m,k\in z,0\le k<3 \right\}

Tanım: a ve k tam sayıları ve m> o tamsayısı verilsin.

a-k farkı m ile tam bölünüyorsa, m modülüne göre a, k ya denktir denir ve a ≡ k (mod m) yazılır.

Advertisement

Yani, \displaystyle \frac{a-k}{m}=b\in z\Leftrightarrow a\equiv k(\bmod m)

Örnek: 3 Ι11-2 olduğundan
11 ≡ 2 (mod 3)
5 Ι12-(-3) olduğundan 12 ≡ -3 (mod 5)
5 Ι(-17)-(13) olduğundan
-17 ≡ 13 (mod 5)
3 modülüne göre kalan sınıfların kümesi Z/3,4 modülüne göre
Z/4, ……..m modülüne göre Z/m biçiminde gösterilir. bunlar,

\displaystyle \begin{array}{l}Z/3=\left\{ \overline{0},\overline{1},\overline{2} \right\}\\Z/4=\left\{ \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3} \right\}\\--------------------\\Z/m=\left\{ \overline{0},\overline{1},\overline{2},.....\left( \overline{m-1} \right) \right\}\end{array}

Tanım:

Advertisement

Z/m kümesinin elemanlarına kalan sınıfları denir.

Uyarı: Z/m de toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özeliği vardır.

Örnek: x ≡ 3 (mod5) ise x sayılarının kümesini bulunuz.

x ≡ 3 (mod5) <=> 5I x-3 => x -3 = 5k, k∈ Z => x = 3 +5k olur.

Advertisement

x∈ {…….-7, -2, 3, 8, 13……} bulunur.

Teorem:

a,b,c tam sayıları ve m pozitif bir tamsayı olsun.

1) a ≡ a (modm)

Advertisement

2) a ≡ b (modm) ise b ≡ a (modm)

3) a ≡ b (modm) ve b ≡ c (modm) ise a ≡ c (modm) dir.

Teorem:

a,b,c, de Z ve m ∈ Z+ için

Advertisement

1) a ≡ b (modm) ∧ c ≡ d (modm)

=> a±c =b±d (modm) dir.

2) a ≡ b (modm) ∧ c ≡ d (modm) => a.c ≡ b.d (modm) dir.

3) a ≡ b (modm) ise ak = bk(modm)

Advertisement

(k∈Z+)

4) pa ≡ pb (modm) p∈ Z

ÖRNEK:

****17 ≡ 2 (mod5) ve 28 ≡ 3(mod5) olduğundan

Advertisement

17+ 28 ≡ (2+3) (mod5) 45 ≡ 5 (mod5) 45 ≡ 0 (mod5)

O halde; mod(m) ye göre yazılmış iki denklik taraf tarafa toplanırsa, çıkarılırsa ya da çarpılırsa, yine bir denklik elde edilir.

****731993 sayısının birler basamağındaki rakamı bulunuz.

Çözüm: Bir sayının birler basamağındaki rakam, sayının 10 ile bölümünden kalandır.
731993 = x (modl0) dan x sayısını bulalım.

Advertisement

73 ≡ 3 (mod 10)
732 ≡ 9 (mod 10)
733 ≡ 7 (mod 10)
734 ≡ 1 (mod 10)
(734)498 ≡ (1)498 (mod 10)
731992 ≡ 1 (mod 10)
73 ≡ 3 (mod 10)
731993 ≡ 3 (mod 10)

Öyleyse sayının birler basamağındaki rakam 3 dür.

Uyarı:

a) Sayı, 1’e denk oluncaya kadar kuvvetleri alınır, 1’e denk olan kuvvete üs bölünür. Kalan üs olarak alınır.

Advertisement

b) m asal sayı ise 1 eksiği yani (m-1) inci kuvvetle mutlaka 1 bulunur ve tekrar başlar.

c) an = x (modm) de m ile a aralarında asal değilse 1 bulunmaz. Tekrar başlayıncaya kadar teker teker incelenir.


Leave A Reply