Özel Fonksiyon Nedir? Nerelerde ve Hangi Bilim Dallarında Kullanılır?

0

Özel fonkisyon nedir? Nerelerde kullanılır ve ne işe yarar? Bilimsel çözümlerde kullanılan özel fonksiyonların en önemlileri nelerdir?

Matematik Korkusu

Advertisement

Özel fonksiyon, fizikte, kimyada ve çeşitli mühendislik dallarında karşılaşılan birçok problemin çözümünde yararlanılan matematiksel fonksiyonların ortak adı. Bu problemler genellikle elektromagnetik, akustik ya da ısıl enerjinin akışına ilişkindir ve kısmi diferansiyel denklemlerin çeşitli durum ve koşullar için çözümünü gerektirir. Bu denklemlerin çözümünde karşılaşılan fonksiyonlar arasında en yalın olanlar üstel fonksiyonlar, logaritmik fonksiyonlar ve trigonometrik fonksiyonlardır. Hepsi de transandantal (cebirsel olmayan, bir başka deyişle aşkın) olan bu fonksiyonlara ek olarak, daha karmaşık problemlerin çözümünde karşılaşılan başka birçok özel fonksiyon vardır.

Bunların en önemlileri şöyle sıralanabilir:

Gamma fonksiyonu. Gamma fonksiyonu faktoriyel fonksiyonun tamsayı olmayan değerleri de içerecek biçimde genelleştirilmesini olanaklı kılar. Bu fonksiyondan bazı sonsuz integrallerin hesaplanması ile olasılık kuramı, istatistik, matematiksel fizik ve mühendislik matematiğinde ortaya çıkan diferansiyel denklemlerin ve fark denklemlerinin çözümünde yararlanılır. Gamma fonksiyonuyla yakından ilişkili bir başka özel fonksiyon da beta fonsiyonudur.

Bessel fonksiyonları. Isı ya da elektriğin silindir içinde akışı, elektromagnetik dalgaların tellerde yayılımı, ışık kırınımı, akışkanların hareketleri gibi çeşitli fiziksel olguların incelenmesinde karşılaşılan diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan Bessel fonksiyonları Jn(x) simgesiyle gösterilir ve sonsuz seriler biçiminde ifade edilir. Fizik problemlerinin çözümünde çok sık karşılaşılan Laplace denkleminin si-lindirik kutupsal koordinatlarda çözümü Bessel fonksiyonları aracılığıyla gerçekleştirilir.

Öteki özel fonksiyonlar. Küresel kutupsal koordinatlarda ifade edilen Laplace denkleminin çözümleri olan Legendre çokterimlileri. Laplace denklemini sağlayan ve küresel harmonikler olarak adlandırılan fonksiyonların bir özel biçimidir. Eş çarpanlı (geometrik) dizinin genelleştirilmiş bir biçimi olan ve bu nedenle hipergeometrik fonksiyon olarak adlandırılan özel fonksiyon, akışkanlar mekaniğinde ve başka birçok fiziksel problemde karşılaşılan hipergeometrik diferansiyel denklemin çözümüdür; öteki birçok özel fonksiyon bu fonksiyon aracılığıyla ifade edilebilir. Hermite çokterimlileri, Schrödinger denkleminin indirgenmiş bir biçimi olan ve özellikle dalga mekaniği problemlerinde karşılaşılan Hermite denkleminin çözümüdür. Genellikle ikinci basamaktan diferansiyel denklemlerin çözümleri olan ve çok çeşitli alanlardaki problemlere uygulanan öteki özel fonksiyonlar arasında Çebişev, Jacobi ve Laguerre çokterimlileri ile Neumann, Hankel ve Whittaker fonksiyonları sayılabilir.

Advertisement


Leave A Reply