Rasyonel Sayılarda Birleşme Özelliği Nedir? Örnekli Konu Anlatımı

Rasyonel sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde birleşme özellikleri var mıdır? Birleşme özelliğinin örneklerle açıklaması.

RASYONEL SAYILAR

***a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere $\displaystyle \frac{a}{b}$ biçiminde yazılan sayılara rasyonel sayı denir ve rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
$\displaystyle Q=\left\{ \frac{a}{b}:a,b\in Z,b\ne 0 \right\}$
*** $\displaystyle \frac{a}{b}$ rasyonel sayısında a ya pay, b ye payda denir.
*** $\displaystyle b\ne 0$ için $\displaystyle \frac{0}{b}=0$ dır.
*** $\displaystyle b\ne 0$ için $\displaystyle \frac{b}{0}$ tanımsızdır.
*** $\displaystyle \frac{0}{0}$ belirsizdir.

Kesir

a, b ∈ N ve b ≠ O olmak üzere rasyonel sayısına kesir denir.

Basit Kesir

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
$\displaystyle \frac{3}{5},\frac{1}{2},0,....$ gibi sayılar birer basit kesirdir.

Bileşik Kesir

Payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.
$\displaystyle \frac{5}{3},\frac{7}{6},2,1,....$ gibi sayılar birer bileşik kesirdir.
*** a, b, c ∈ N ve c≠0 ise
$\displaystyle a+\frac{b}{c}=a\frac{b}{c}$ kesrine tam sayılı kesir denir.

Rasyonel Sayılarda Birleşme Özelliği

Üç adet rasyonel sayıyı örnek olarak ele alıp birleşme özelliğini inceleyelim.

Örnek olarak -3/4, 2/3 and 2 1/2 kesirlerini ele alalım;

Toplama İşleminde

$\displaystyle \frac{-3}{4}+\left( \frac{2}{3}+2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}+\left( \frac{4}{6}+2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}+2\frac{7}{6}=\frac{-9}{12}+2\frac{14}{12}=2\frac{5}{12}$

=

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}+\frac{2}{3} \right)+2\frac{1}{2}=\left( \frac{-9}{12}+\frac{8}{12} \right)+2\frac{1}{2}=\frac{-1}{12}+2\frac{1}{2}=\frac{-1}{12}+2\frac{6}{12}=2\frac{5}{12}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}+\left( \frac{c}{d}+\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right)+\frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda toplama işleminde birleşme özelliği mevcuttur.

Çıkarma İşleminde;

$\displaystyle \frac{-3}{4}-\left( \frac{2}{3}-2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}-\left( \frac{4}{6}-2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}-\left( \frac{4}{6}+-1\frac{9}{6} \right)=\frac{-3}{4}-\left( -1\frac{5}{6} \right)=\frac{-9}{12}+\left( +1\frac{10}{12} \right)=1\frac{1}{12}$

≠

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}-\frac{2}{3} \right)-2\frac{1}{2}=\left( \frac{-9}{12}+\frac{-8}{12} \right)-2\frac{1}{2}=\frac{-17}{12}-2\frac{1}{2}=-1\frac{-5}{12}-2\frac{6}{12}=-3\frac{11}{12}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise;

$\displaystyle \frac{a}{b}-\left( \frac{c}{d}-\frac{e}{f} \right)\ne \left( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} \right)-\frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda çıkarma işleminde birleşme özelliği yoktur.

Çarpma İşleminde;

$\displaystyle \frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x\frac{5}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\frac{5}{3}=\frac{-5}{4}=-1\frac{1}{4}$

=

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}x\frac{2}{3} \right)x2\frac{1}{2}=\left( \frac{-1}{2}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{2}x\frac{5}{2}=\frac{-5}{4}=-1\frac{1}{4}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise;

$\displaystyle \frac{a}{b}x\left( \frac{c}{d}x\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}x\frac{c}{d} \right)x\frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda çarpma işleminde birleşme özelliği mevcuttur.

Bölme İşleminde

$\displaystyle \frac{-3}{4}\div \left( \frac{2}{3}\div 2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}\div \left( \frac{2}{3}x\frac{2}{5} \right)=\frac{-3}{4}\div \frac{4}{15}=\frac{-3}{4}x\frac{15}{4}=-\frac{45}{16}=-2\frac{13}{16}$

≠

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}\div \frac{2}{3} \right)\div 2\frac{1}{2}=\left( \frac{-3}{4}x\frac{3}{2} \right)\div 2\frac{1}{2}=\frac{-9}{8}\div 2\frac{2}{5}=\frac{-9}{8}x\frac{2}{5}=-\frac{9}{20}$

SONUÇLAR EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}\div \left( \frac{c}{d}\div \frac{e}{f} \right)\ne \left( \frac{a}{b}\div \frac{c}{d} \right)\div \frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda bölme işleminde birleşme özelliği yoktur.
Rasyonel sayılarda toplama ve çarpma işleminde birleşme özelliği mevcutken çıkarma ve bölme işlemlerinde birleşme özelliği yoktur.