Türev Nedir? Kısaca Bilgi

Türev nedir? Türev tanımı nasıldır? Türev nasıl alınır örnekleri ve konu anlatımı ile türev ile ilgili olarak her türlü temel bilginin olduğu sayfamız.

Türev Tanımı : $\displaystyle f:A\to R$ y=f(x) fonksiyonu verilmiş olsun. $\displaystyle {{x}_{0}}\in A$ için

$\displaystyle \underset{{x\to {{x}_{0}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x)-f({{x}_{0}})}}{{x-{{x}_{0}}}}$

limit varsa bu limite f(x)’in $\displaystyle {{{x}_{0}}}$ noktasındaki türevi denir. f(x)’in $\displaystyle {{{x}_{0}}}$ noktasındaki türevi;

$\displaystyle {{f}^{'}}({{x}_{0}}),\frac{{df({{x}_{0}})}}{{dx}},\frac{{dy({{x}_{0}})}}{{dx}},{{y}^{'}}({{x}_{0}})$

simgelerinden birisi ile gösterilir.

Not: $\displaystyle x={{x}_{0}}+h$ olsun. $\displaystyle {{x}_{0}}$ noktasındaki türev,

$\displaystyle \underset{{h\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}}{h}$

şeklinde tanımlanabilir.

ÖRNEK: $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}-2x+3$ fonksiyonunun $\displaystyle {{x}_{0}}$ noktasındaki türevi nedir?

ÇÖZÜM:

$\displaystyle \begin{array}{l}f({{x}_{0}}+h)={{({{x}_{0}}+h)}^{2}}-2({{x}_{0}}+h)+3\\f({{x}_{0}}+h)={{x}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}h+{{h}^{2}}-2{{x}_{0}}-2h+3\\f({{x}_{0}}+h)={{x}_{0}}^{2}-2{{x}_{0}}+3\\f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})=2{{x}_{0}}h-2h+{{h}^{2}}\\\underset{{h\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{h(2{{x}_{0}}-2+h)}}{h}=2{{x}_{0}}-2\\f({{x}_{0}})=2{{x}_{0}}-2\end{array}$

Bir Aralıkta Türev:

f fonksiyonu A aralığının her $\displaystyle {{x}_{0}}$ noktasında türevliyse bu aralıkta türevlidir denir ve türev

$\displaystyle {{f}^{'}}(x)\frac{{dy}}{{dx}},{{y}^{'}}$ simgeleri ile gösterilir.

Soldan ve sağdan türev:

$\displaystyle \underset{{x\to x_{0}^{-}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x)-f({{x}_{0}})}}{{x-{{x}_{0}}}}$ değerine

f(x)’in $\displaystyle {{{x}_{0}}}$ noktasındaki soldan türevi denir ve $\displaystyle {{f}^{'}}(x_{0}^{-})$ şeklinde gösterilir.

$\displaystyle \underset{{x\to x_{0}^{+}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x)-f({{x}_{0}})}}{{x-{{x}_{0}}}}$ değerine f(x)’in $\displaystyle {{x}_{0}}$ noktasındaki sağdan türevi denir ve $\displaystyle {{f}^{'}}(x_{0}^{+})$ şeklinde gösterilir.

$\displaystyle {{f}^{'}}(x_{0}^{-})={{f}^{'}}(x_{0}^{+})$ ise fonskiyon $\displaystyle {{x}_{0}}$ noktasında türevlidir denir.

Örnek: $\displaystyle f(x)=\left| {{{x}^{2}}-4} \right|$ fonksiyonunun x=2 noktasındaki sağdan ve soldan türevini bulunuz.

ÇÖZÜM:
$\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{x\to {{2}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f(x)-f(2)}}{{x-2}}\Rightarrow \underset{{x\to {{2}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left| {{{x}^{2}}-4} \right|-\left| 0 \right|}}{{x-2}}\\\underset{{x\to {{2}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left| {x-2} \right|.\left| {x+2} \right|}}{{x-2}}\\\underset{{x\to {{2}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{(x-2).(x+2)}}{{x-2}}(x>2ise\left| {x-2} \right|=x-2)\\\underset{{x\to {{2}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,(x+2)=4\\\underset{{x\to {{2}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left| {{{x}^{2}}-4} \right|-\left| 0 \right|}}{{x-2}}=\underset{{x\to {{2}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left| {x-2} \right|.\left| {x+2} \right|}}{{x-2}}\\\underset{{x\to {{2}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{-(x-2).(x+2)}}{{x-2}}=-4\\(x<2\Rightarrow \left| {x-2} \right|=-(x-2))\\\underset{{x\to {{2}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,{{f}^{'}}(x)\ne \underset{{x\to {{2}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,{{f}^{'}}(x)\end{array}$
olduğundan fonksiyonun x=2 noktasında türevi yoktur.

Örnek:f(x)= $\displaystyle \left[\!\left[ x \right]\!\right]$ fonksiyonunun

a) x= $\displaystyle \frac{1}{3}$ noktasındaki

b) x=1 noktasındaki türevini bulunuz.

Çözüm:

a) x- $\displaystyle \frac{1}{3}$ =h olsun

$\displaystyle x\to \frac{1}{3}$ için $\displaystyle h\to 0$ olur.

$\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{h\to {{o}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left[\!\left[ {h+\frac{1}{3}} \right]\!\right]-\left[\!\left[ {\frac{1}{3}} \right]\!\right]}}{h}=0\\\underset{{h\to {{o}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left[\!\left[ {h+\frac{1}{3}} \right]\!\right]-\left[\!\left[ {\frac{1}{3}} \right]\!\right]}}{h}=0\end{array}$

fonksiyonunun $\displaystyle {{x}_{o}}=\frac{1}{3}$ noktasında türevi vardır ve 0’dır.

b) x-1=h olsun
x=1+h olur x→1 için h→0 olur.

$\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{h\to {{o}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left[\!\left[ {h+1} \right]\!\right]-\left[\!\left[ 1 \right]\!\right]}}{h}=0\\\underset{{h\to {{o}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left[\!\left[ {h+1} \right]\!\right]-\left[\!\left[ 1 \right]\!\right]}}{h}=\frac{{-1}}{{{{0}^{-}}}}=+\infty \end{array}$