Uzayda Bir Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi ve Hesaplaması

0

12. sınıf geometri konusu, uzayda bir noktadan geçen ve doğrultmanı bilinen bir doğrunun denklemi nedir, nasıl hesaplanır, örnek sorular.

Uzayda Bir Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi

Uzayda Bir Noktadan Geçen ve Doğrultmanı Bilinen Doğrunun Denklemi

Uzayda,
\displaystyle P({{x}_{o}},{{y}_{o}},{{z}_{o}}) noktasından geçen ve doğrultmanı u = (a, b, c) olan d doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta A(x, y, z) olsun.

Uzayda Bir Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi

Buna göre,
d doğrusunun vektörel denklemi, k ∈ R için

\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}+k.\overrightarrow{u}  olur.

\displaystyle \overrightarrow{OA}=(x,y,z)

\displaystyle \overrightarrow{OP}=({{x}_{o}},{{y}_{o}},{{z}_{o}}) ve

\displaystyle \overrightarrow{u}=(a,b,c) olduğundan,

\displaystyle \left( x,y,z \right)=\left( {{x}_{o}},{{y}_{o}},{{z}_{o}} \right)+k.(a,b,c)

doğrunun vektörel denklemidir.

Vektörel denklemdeki x, y, z bileşenlerini ayrı ayrı yazarsak,

d doğrusunun parametrik denklemi, k ∈ R için

\displaystyle x={{x}_{o}}+k.a

\displaystyle y={{y}_{o}}+k.b

\displaystyle z={{z}_{o}}+k.c olur.

Örnek:

P(5,3,4) noktasından geçen ve u = (1, 3,2) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel ve parametrik denklemlemini bulalım.

Çözüm

u = (1, 3, 2) doğrunun doğrultman vektörüdür. Doğru üzerindeki bir nokta A(x, y, z) olmak üzere, doğrunun vektörel denklemi,

\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}+k.\overrightarrow{u}

(x, y, z) = (5, 3, 4) + k . (1, 3, 2) olur. (k ∈ R)

Bu doğrunun parametrik denklemi,

x = 5 + k

y = 3 + 3k

z = 4 + 2k bulunur.

Örnek 2

Analitik uzayda, vektörel denklemi

(x, y, z) = (-2, 5, 1) + k . (3, -2, 4) (k ∈ R)

olan doğrunun parametrik denklemini bulalım.

Çözüm

Vektörel denklemi yukarıda verilen doğrunun parametrik denklemi,

x = -2 + 3k

y = 5 – 2k

z = 1 + 4k bulunur.


Bir Yorum Yazmak İster misiniz?