2. Dereceden Denklemin Köklerinin Karmaşık Sayı İle İlişkisi, Örnekler

2. Dereceden Denklemin Köklerinin Karmaşık Sayı İle İlişkisi nedir, örneklerle konu anlatımı, hakkında bilgi, örnek sorular ve çözümler.

2. Dereceden Denklemin Köklerinin Karmaşık Sayı İle İlişkisi

II. DERECE DENKLEMİN KÖKLERİNİN KARMAŞIK SAYI İLE İLİŞKİSİ

a, b, c ∈ $\displaystyle \mathbb{R}$ ve a ≠ O olmak üzere, ax +bx+c = 0 denkleminde $\displaystyle \Delta <0$ ise II. derece denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir.

x1 = x + iy ve
x2 = x – iy dir.

Örnek:

$\displaystyle {{x}^{2}}+2x+2=0$ denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm:

$\displaystyle {{x}^{2}}+2x+2=0$
$\displaystyle \Delta ={{2}^{2}}-4.2=4-8=-4$
$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2+\sqrt{-4}}{2}$
$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2+2\sqrt{-1}}{2}$
$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2-\sqrt{-4}}{2}$
$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2-2\sqrt{-1}}{2}$
$\displaystyle \sqrt{-1}=i$ olduğundan,
$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2+2i}{2}$
$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2-2i}{2}$
x1 = —1 + i ve x2 = -1 – i sayıları bulunur.
Görülüyor ki,
$\displaystyle \overline{{{x}_{1}}}={{x}_{2}}$ veya $\displaystyle \overline{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}$

Örnek:

Köklerinden biri x1 = 3 – 4i olan gerçel katsayılı ikinci derece denklemi bulunuz.

Çözüm:

Köklerinden biri x1 = 3-4i ise diğer kök x2 = 3 + 4i dir.
Kökler toplamı = T = x1 + x2 = (3 + 4i) + (3 – 4i) = 6
Kökler çarpımı = Ç = x1 . x2 = (3 + 4i) . (3 – 4i) = 25
$\displaystyle {{x}^{2}}-Tx+=0$
$\displaystyle {{x}^{2}}-6x+25=0$ bulunur.