Bir Küre İle Bir Düzlemin Kesişimi, arakesiti ile ilgili özellikleri, örnek soru ve çözümleri hakkında bilgi.
Bir Küre ile Bir Düzlemin Arakesiti
Bir küre yüzeyinin bir düzlem ile ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlem ile ara kesiti ise bir dairedir.
- Şekildeki O merkezli küre ile P düzleminin ara kesiti A merkezli dairedir.
- Küre merkezinin düzleme uzaklığı, |OA| = d ve [OA] ⊥ [AB] dir.
- B, küre yüzeyinin ve düzlemin ortak bir noktası olmak üzere, AOB dik üçgeninde pisagor bağıntısından,
- $latex \displaystyle \left| AB \right|=\left( r’ \right)=\sqrt{{{r}^{2}}-{{d}^{2}}}$ olur.
Kürenin Büyük Çemberi
- Kürenin merkezinden geçen düzlemle, kürenin ara kesitine, kürenin büyük çemberi denir.
- Kürenin büyük çemberinin yarıçapı, kürenin yarıçapına eşittir.
- Kürenin büyük çemberlerinin merkezleri ortak bir nokta yani küre merkezidir.
Örnek
Uzayda bir E düzlemi ile E düzleminden 9 birim uzaklıkta bir A noktası veriliyor. A noktasından 6 birim ve E düzleminden 5 birim uzaklıktaki noktaların sınırladığı bölgenin alanını bulalım.
Çözüm
- A noktasından 6 birim uzaklıktaki noktalar; A merkezli ve yarıçapı 6 birim olan küredir.
- E düzleminden 5 birim uzaklıktaki noktalar; E düzlemine paralel bir P düzlemi olsun.
- Dolayısıyla istenen noktalar, A merkezli küre ile P düzleminin kesişim kümesi olan O merkezli çemberdir.
- |AO| = 9-5 = 4 birim olur.
- AOB dik üçgeninde pisagor bağıntısından
- |OB| = r = $latex \displaystyle 2\sqrt{5}$ birim olacağından, dairenin alanı,
- $latex \displaystyle \pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}=20\pi $ birimkare olur.
Not
Küre merkezinin düzleme uzaklığı yarıçapa eşitse, düzlem ile kürenin kesişimi bir nokta olur.
Küre Nedir? Sözlük Anlamı
- “Küre (1. anlamı)”
1. Bütün noktaları merkezden aynı uzaklıkta bulunan bir yüzeyle sınırlı cisim
2. Yeryüzü, dünya
“Ben de yıldızlar gibi, küre gibi, ben de yalnız ve herkese uzaktım.” – Y. K. Karaosmanoğlu
“Küre (2. anlamı)” Madenci ocağı, maden fırını
“Küre (3. anlamı)” Kastamonu iline bağlı ilçelerden biri - “küre kuşağı”
Kuşak - “ağır küre ”
Yer yuvarlağının, yoğunluğu ve katılığı çok olan bölümü, barisfer - “ateş küre ”
Erimiş hâlde olduğu sanılan yer çekirdeği, pirosfer - “düzlem küre ”
Yer yuvarlağı üzerindeki biçimleri bütünüyle bir düzlem üzerinde göstermek amacıyla çeşitli haritacılık yöntemlerine başvurularak hazırlanmış harita - “güney küre ”
Güney Kutbu’ndan Ekvator’a kadar olan bölge - “hava küre ”
Hava yuvarı - “ışık küre ”
Işık yuvarı - “kuzey küre ”
Kuzey Kutbu’ndan Ekvator’a kadar olan bölge - “su küre ”
Su yuvarı - “taş küre ”
Taş yuvarı - “yarı küre ”
Yer veya gök kürenin Ekvator’la bölünmüş iki yarısından her biri, yarım küre - “yarım küre ”
1. İki eşit parçaya bölünmüş bir kürenin her parçası
2. Yarı küre - “yerküre”
Üstünde yaşadığımız gök cismi, yer, yer yuvarı, yer yuvarlağı - “gök küresi ”
İç yüzü gökyüzü olarak kabul edilen, yarı çapı sonsuza uzanmış yer merkezli küre
