Permütasyon ve Kombinezon nedir? Permütasyon ve Kombinezon hesaplamaları ve konuları ile ilgili olarak genel bilgilerin yer aldığı sayfamız.
Permütasyon ve Kombinezon (Kombinasyon) Hesaplamaları Nasıl Olur?
Permütasyon ve kombinezon, verili bir kümenin sıra gözetilerek (permütasyon) ya da gözetilmeksizin (kombinezon) seçilen öğelerinden oluşturulan farklı altkümeler. Permütasyon ve kombinezon kuramındaki gelişmeler ve verili bir durum için olanaklı permütasyon ve kombinezonların sayılarını belirleme yöntemlerinin ortaya konması, 17. yüzyılda olasılık kuramı alanındaki çalışmaların önemli bir bölümünü oluşturmuştur. Bunun nedeni, olasılık kuramının kağıt ve zar oyunlarında ortaya çıkabilecek durumların belirlenmesi çabalarından kaynaklanması ve bu durumların genellikle permütasyon ve kombinezonlar aracılığıyla ifade edilebilmesidir.
Örnek
Permütasyon ve kombinezonlara örnek olmak üzere, birbirlerinden farklı beş nesneyi (örn. A,B,C,D,E harfleri) alalım ve bunlar arasından ikisini kaç farklı biçimde seçebileceğimizi düşünelim. Hem seçilen harfler, hem de bunların sıralanış biçimi dikkate alınırsa, aşağıda gösterilen 20 farklı seçim olanaklıdır:
| AB | BA | AC | CA | AD |
| DA | AE | EA | BC | CB |
| BD | DB | BE | EB | CD |
| DC | CE | EC | DE | ED |
Bu 20 farklı seçimin her birine permütasyon (devrişim) adı verilir; ele alınan örnekte bunlar beş nesnenin ikişer ikişer permütasyonlarıdır, bu permütasyonların sayısı $latex \displaystyle _{5}{{P}_{2}}$ olarak gösterilir ($latex \displaystyle ^{5}{{P}_{2}}$ ya da $latex \displaystyle P_{2}^{5}$ simgeleri de kullanılır). Genel olarak n tane nesne içinden k tanesi seçilerek oluşturulan permütasyonların sayısı $latex \displaystyle _{n}{{P}_{k}}$ ($latex \displaystyle ^{n}{{P}_{k}}$ ya da $latex \displaystyle P_{k}^{n}$) simgesiyle gösterilir. $latex \displaystyle _{n}{{P}_{k}}$’nın değeri aşağıdaki formülle verilir:
$latex \displaystyle _{n}{{P}_{k}}=\frac{{n!}}{{(n-k)!}}$
burada n! simgesi, l’den n’ye kadar (n dahil) bütün tam sayıların çarpımını göstermektedir. Bu formül yukarıdaki örneğe uygulanırsa,
$latex \displaystyle _{5}{{P}_{2}}=\frac{{5!}}{{(5-2)!}}=\frac{{5!}}{{3!}}=\frac{{120}}{6}=20$
bulunur.
Eğer seçilen harfler önemli, buna karşılık bunların sıralanış biçimi önemsiz ise bu durumda elde edilen altkümeler kombinezon (katışım) olarak adlandırılır. Sıra gözetilmediği için, örneğin AB ile BA birbirine özdeştir ve bir tek kombinezona karşılık gelir. Bu durumda, yukarıdaki örnek için 10 farklı seçim olanaklıdır, bunlar beş nesnenin ikişer ikişer kombinezonlarıdır. Bu kombinezonların sayısı $latex \displaystyle _{5}{{C}_{2}}$ simgesi ile gösterilir. Genel olarak n tane nesne içinden sıra gözetmeksizin k tanesi seçilerek oluşturulan kombinezonların sayısı,
$latex \displaystyle _{n}{{C}_{k}}=\frac{{n!}}{{(k)!(n-k)!}}$
formülü ile verilir. Yukarıdaki örnekte n=5, k=2 olduğundan,
$latex \displaystyle _{5}{{C}_{2}}=\frac{{5!}}{{(2)!(5-2)!}}=\frac{{5!}}{{(2)!(3)!}}=\frac{{120}}{{12}}=10$
bulunur. $latex \displaystyle _{n}{{P}_{k}}$ ve $latex \displaystyle _{n}{{C}_{k}}$ formülleri, sayma formülleri olarak adlandırılır; çünkü belirli bir durum için olanaklı permütasyon ve kombinezonların sayısı, bu permütasyon ve kombinezonları tek tek bulmaya gerek kalmaksızın, bu formüller aracılığıyla hesaplanabilir.
