Binom Açılımı Formülleri Nelerdir? Kullanılan Denklemler Terim Katsayıları

Binom açılımı nedir ve nasıl ifade edilir, kullanılan denklemler, formüller nelerdir? Binom açılımı formülleri, hesaplanması, terim katsayıları.

Binom Açılımı

Binom açılımı, aslında bir çarpma işlemini düzenli şekilde yazmanın yoludur. İki terimli bir ifadeyi (mesela (a + b) gibi) birkaç kez kendisiyle çarptığımızda, ortaya birçok terim çıkar. İşte bu terimlerin sistemli ve düzenli bir şekilde sıralanmasına binom açılımı denir.

Örneğin:

(a + b)’yi kendisiyle bir kez çarptığımızda (a + b)² olur ve bu açıldığında a² + 2ab + b² çıkar.
(a + b)’yi üç kez çarptığımızda (a + b)³ olur ve açılımda daha fazla terim ortaya çıkar: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ gibi.

Burada dikkat edilmesi gereken şey şudur:

İlk terim (a) en başta yüksek kuvvetle başlar ve giderek azalır.
Diğer terim (b) ise küçükten başlar ve giderek büyür.
Ortadaki katsayılar ise belli bir kurala göre düzenlenir.

Yani binom açılımı, “iki terimli ifadelerin kuvvetlerini açmak için kısa bir yol” gibidir. Eğer formülü bilmeseydik, her defasında uzun uzun çarpma yapmamız gerekirdi.

Binom açılımı formülü şöyledir:

(a+b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + … + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n

Burada C(n,k) n elemanlı bir kümeden k elemanlı alt küme seçmek için kullanılan kombinasyon formülüdür ve şu şekilde ifade edilir: C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

Binom açılımının özellikleri şunlardır:

Binom açılımı, sadece (a+b)^n tipi ifadeler için geçerlidir. Bu açılımın doğru olabilmesi için n’in pozitif bir tam sayı olması gerekir.
Açılımın son terimi C(n,n)a^0b^n, bütün terimlerin toplamıdır.
Binom açılımı, Pascal üçgeni adı verilen bir yapıya dayanır. Pascal üçgeni, her bir sayının üzerindeki iki sayının toplamını veren bir üçgendir.
Binom açılımı, kombinasyon hesaplamalarında sıkça kullanılır.
Binom açılımı, polinomlarda çarpma işlemlerini basitleştirmek için kullanılabilir.
Binom açılımının kullanımı, genişletilmiş formülasyonlar için de geçerlidir. Örneğin, (a+b+c)^n ifadesi, ayrı ayrı binom açılımlarının toplamı olarak ifade edilebilir.

Örnek

Mesela (x + y)^3 ifadesinin binom açılımı şöyle olur:

(x+y)^3 = C(3,0)x^3y^0 + C(3,1)x^2y^1 + C(3,2)x^1y^2 + C(3,3)x^0y^3

Burada C(n,k) kombinasyon formülü ile hesaplanır: C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!).

C(3,0) = 1, C(3,1) = 3, C(3,2) = 3 ve C(3,3) = 1 olduğundan,

(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Şeklinde yazılabilir.

Bu açılımı kullanarak, örneğin (x+y)^4 ifadesinin açılımı da şu şekilde yazılabilir:

(x+y)^4 = C(4,0)x^4y^0 + C(4,1)x^3y^1 + C(4,2)x^2y^2 + C(4,3)x^1y^3 + C(4,4)x^0y^4

Burada C(4,0) = 1, C(4,1) = 4, C(4,2) = 6, C(4,3) = 4 ve C(4,4) = 1 olduğundan,

(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4

Şeklinde yazılabilir.

Formüller

n ∈ IN olmak üzere

$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}=\left( _{0}^{n} \right){{a}^{n}}+\left( _{1}^{n} \right){{a}^{n-1}}b+...+\left( _{n}^{n} \right){{b}^{n}}$ ifadesine Binom Açılımı denir.
$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}$ ifadesinde n+1 terim vardır.
$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}$ ifadesinde herhangi bir terim $\displaystyle {{a}^{p}}.{{b}^{r}}$ ‘li ise;
Bu terimin katsayısı $\displaystyle \left( _{p}^{n} \right)=\left( _{r}^{n} \right)$ dir. Bu terimde p + r = n dir.
$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}$ açılımındaki terimler a’nın azalan kuvvetlerine göre sıralanmışsa:

Baştan r + 1. terim: $\displaystyle \left( _{r}^{n} \right).{{a}^{n-r}}.{{b}^{r}}$
Sondan r + 1, terim: $\displaystyle \left( _{r}^{n} \right).{{a}^{r}}.{{b}^{n-r}}$ dir

$\displaystyle {{(a+b)}^{2n}}$ (n ∈ IN) açılımında orta terimin katsayısı $\displaystyle \left( _{n}^{2n} \right)$ dir. $\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{2n-1}}$ açılımında orta terim yoktur.
$\displaystyle {{\left( a+b+c \right)}^{n}}$ açılımında $\displaystyle {{a}^{p}}.{{b}^{r}}.{{c}^{s}}$ ‘li terimin katsayısı
$\displaystyle \frac{n!}{p!.r!.s!}$ dir. (p + r + s = n)