Binom Açılımı Formülleri Nelerdir? Kullanılan Denklemler Terim Katsayıları, Örnekler

Binom açılımı nedir ve nasıl ifade edilir, kullanılan denklemler, formüller nelerdir? Binom açılımı formülleri, hesaplanması, terim katsayıları.

BİNOM AÇILIMI

Binom açılımı, bir (a+b)^n tipi ifadeyi açmak için kullanılan bir matematiksel formüldür. Burada a ve b, gerçek sayılar olabilir, n ise pozitif tam sayıdır.

Binom açılımı formülü şöyledir:

(a+b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + … + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n

Burada C(n,k) n elemanlı bir kümeden k elemanlı alt küme seçmek için kullanılan kombinasyon formülüdür ve şu şekilde ifade edilir: C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

Binom açılımının özellikleri şunlardır:

Binom açılımı, sadece (a+b)^n tipi ifadeler için geçerlidir. Bu açılımın doğru olabilmesi için n’in pozitif bir tam sayı olması gerekir.
Açılımın son terimi C(n,n)a^0b^n, bütün terimlerin toplamıdır.
Binom açılımı, Pascal üçgeni adı verilen bir yapıya dayanır. Pascal üçgeni, her bir sayının üzerindeki iki sayının toplamını veren bir üçgendir.
Binom açılımı, kombinasyon hesaplamalarında sıkça kullanılır.
Binom açılımı, polinomlarda çarpma işlemlerini basitleştirmek için kullanılabilir.
Binom açılımının kullanımı, genişletilmiş formülasyonlar için de geçerlidir. Örneğin, (a+b+c)^n ifadesi, ayrı ayrı binom açılımlarının toplamı olarak ifade edilebilir.

Örnek

Mesela (x + y)^3 ifadesinin binom açılımı şöyle olur:

(x+y)^3 = C(3,0)x^3y^0 + C(3,1)x^2y^1 + C(3,2)x^1y^2 + C(3,3)x^0y^3

Burada C(n,k) kombinasyon formülü ile hesaplanır: C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!).

C(3,0) = 1, C(3,1) = 3, C(3,2) = 3 ve C(3,3) = 1 olduğundan,

(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Şeklinde yazılabilir.

Bu açılımı kullanarak, örneğin (x+y)^4 ifadesinin açılımı da şu şekilde yazılabilir:

(x+y)^4 = C(4,0)x^4y^0 + C(4,1)x^3y^1 + C(4,2)x^2y^2 + C(4,3)x^1y^3 + C(4,4)x^0y^4

Burada C(4,0) = 1, C(4,1) = 4, C(4,2) = 6, C(4,3) = 4 ve C(4,4) = 1 olduğundan,

(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4

Şeklinde yazılabilir.

Formüller

n ∈ IN olmak üzere

$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}=\left( _{0}^{n} \right){{a}^{n}}+\left( _{1}^{n} \right){{a}^{n-1}}b+...+\left( _{n}^{n} \right){{b}^{n}}$ ifadesine Binom Açılımı denir.
$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}$ ifadesinde n+1 terim vardır.
$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}$ ifadesinde herhangi bir terim $\displaystyle {{a}^{p}}.{{b}^{r}}$ ‘li ise;
Bu terimin katsayısı $\displaystyle \left( _{p}^{n} \right)=\left( _{r}^{n} \right)$ dir. Bu terimde p + r = n dir.
$\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{n}}$ açılımındaki terimler a’nın azalan kuvvetlerine göre sıralanmışsa:

Baştan r + 1. terim: $\displaystyle \left( _{r}^{n} \right).{{a}^{n-r}}.{{b}^{r}}$
Sondan r + 1, terim: $\displaystyle \left( _{r}^{n} \right).{{a}^{r}}.{{b}^{n-r}}$ dir

$\displaystyle {{(a+b)}^{2n}}$ (n ∈ IN) açılımında orta terimin katsayısı $\displaystyle \left( _{n}^{2n} \right)$ dir. $\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{2n-1}}$ açılımında orta terim yoktur.
$\displaystyle {{\left( a+b+c \right)}^{n}}$ açılımında $\displaystyle {{a}^{p}}.{{b}^{r}}.{{c}^{s}}$ ‘li terimin katsayısı
$\displaystyle \frac{n!}{p!.r!.s!}$ dir. (p + r + s = n)