Modern Mantık Konu Anlatımı

Felsefe’de modern mantık konu anlatımının yer aldığı yazımız. Önerme eklemleri mantığı, önermelerin geçerliliği ve tutarlılığı, eşdeğerliği gibi konuların açıklaması.

A- ÖNERME EKLEMLERİ MANTIĞI

Sembolik mantık, günlük dildeki çıkarımları çok anlamlılığa ve belirsizliğe yer vermeyecek biçimde sembolik bir dile çevirip, sembolik işlemlerle, düşünme yanlışlıklarını işlem yanlışlığı biçiminde gösterir. Sembolik mantıkta basit önermeler p,q,r,n,m… gibi harflerle gösterilir. Daha incelikli bir sembolleştirme için, yüklemler mantığında ise $\displaystyle {{\forall }_{x}}$ $\displaystyle {{F}_{x}}$ biçiminde sembolleştirmeye de baş vurulur. Bileşik önermelerde eklem sembolleri olarak değil $\displaystyle \sim$ ve ( $\displaystyle \wedge$ ) veya ( $\displaystyle \vee$ ), ise ( $\displaystyle \Rightarrow$ ) ancak ve ancak ( $\displaystyle \Leftrightarrow$ ) kullanılır. Örneğin: ‘p’ bir basit önermeyi, $\displaystyle \sim p$ ise bir bileşik önermeyi gösterir. Yine örneğin, yüklemler mantığında $\displaystyle {{\forall }_{x}}$ $\displaystyle {{F}_{x}}$ bir basit önermeyi gösterirken, $\displaystyle \sim$ $\displaystyle {{\forall }_{x}}$ $\displaystyle {{F}_{x}}$ ifadesi bir bileşik önermeyi gösterir. Öyle ise bir bileşik önermeyi, basit önermeden ayıran, önerme eklemi almış olmasıdır.

Önerme, sembolik mantıkta da, bir doğruluk değeri taşıyan bildirili cümledir. Basit önermeler doğru ya da yanlış olarak yorumlanabilir, ama bileşik önermelerin yorumlanabilmesi için eklemin özelliğine göre oluşan doğruluk çizelgelerine ya da çözümleyici çizelgelere ihtiyaç vardır. Bileşik önermelerin doğruluk çizelgesi:

Önerme Eklemleri Mantığı

$\displaystyle \wedge$ : Tümel evetleme eklemi [(ve) ile (ancak iki adı değil, iki önermeyi bağlamalı)]

$\displaystyle \vee$ : Tikel evetleme eklemi (veya, ya da, yahut, veyahut)

$\displaystyle \Rightarrow$ : Şart eklemi (ise)

$\displaystyle \Leftrightarrow$ : Karşılıklı şart eklemi (ancak ve ancak)

$\displaystyle \Leftarrow {\mathrm I}\Rightarrow$ : Tekil evetleme eklemi (ya…..ya)

$\displaystyle \sim$ : Değilleme eklemi (değil, yok, olmayan, -siz, -suz)

$\displaystyle \downarrow$ : Birlikte değilleme (ne……ne)

Tablo

ÖNERMELERİN EŞDEĞERLİĞİ:

Doğruluk çizelgesinde aynı satırlarda aynı doğruluk değerlerini alan önermeler eşdeğerdir.
Eşdeğerlik denetlemesi iki yolla yapılır:

1) Denetlenmesi gereken önermeler doğruluk tablosuna konur. Doğruluk çizelgesinde aynı doğruluk değerlerini alan önermeler eşdeğerdir.

2. Önermeler arasında “<=>” konarak değillenir. Bütün yollar kapalı ise (yani her yol üzerinde p, $\displaystyle \sim$ p gibi çelişen önermeler varsa) eşdeğerdir.

ÖNERMELERİN GEÇERLİLİĞİ VE TUTARLILIĞI:

Doğrulayıcı yorumlaması olan bir önermeye tutarlı, hiç doğrulayıcı yorumlaması olmayan önermelere de tutarsız denir. Her hangi bir sayıda önermeden meydana gelmiş bir önerme dizisinin tutar olması, bu önermeleri bir arada doğru kılan en az bir yorumlamasının bulunması demektir. (Bu tutarlılığın çözümleyici çizelge ile denetlenmesinde en az bir yolun açık, yani çelişkisiz olması demektir.)

Hiç yanlışlayıcı yorumlaması olmayan önerme, ya da önerme dizisine ‘geçerli’, geçerli olmayana da geçersiz denir. Görüleceği gibi, geçerli önermeler her zaman tutarlı, ama tutarlı önermeler her zaman geçerli olmamaktadır.

ÇIKARIMLARIN GEÇERLİLİĞİ:

Bir çıkarımın geçerli olması, bütün öncüllerini doğru, ama sonucu yanlış kılan bir yorumlamasının olmamasıdır. Geçerli olmayan bir çıkarıma geçersiz denir. Ancak, bir sonucun öncüllerden çıkarılmış olması da gerekir. Çıkarım sembolü ” $\displaystyle \therefore$ “dir.

ÖNERME EKLEMLERİ MANTIĞININ TÜRKÇE’DE ÖNERME ve ÇIKARIMLARA, ANAHTARLI DEVRELERE UYGULANMASI:

a) Önerme Eklemleri Mantığı’nın Türkçe’ye Uygulanması: Sembolik mantığa ait işlem yapılabilmesi için, önce önerme ya da çıkarımların sembolik dile çevrilmesi gerekir. Eğer soruda, sembolik karşılıklar verilmişse, gerekli işlem doğrudan doğruya yapılabilir.

Ancak, günlük dilde çıkarımların ve önerme eklemlerinin birçok karşılığı vardır. Örneğin; “ $\displaystyle \wedge$ ” tümel evetleme eklemi: ve, hem…hem, de…de, gerek…gerek, ama gibi sözcükleri ifade eder. Yine örneğin, çıkarım “ $\displaystyle \therefore$ “, o halde, demek ki, böylece, dolayısıyla, buna göre, çünkü deyimlerini karşılar. Bu nedenle sembolik karşılıkları verilmemiş, çıkarımla ilgili sorularda, önce uygun sembolleştirmeler yapılmalıdır.

B- ÖNERME EKLEMLERİ MANTIĞI’NIN ANAHTARLI DEVRELERE UYGULANMASI:

a) Verilen bir devrenin önerme eklemleri mantığındaki karşılığının saptanması (Devrelerin çözümlenmesi).

Tablo

Verilen devrede;

p basılınca akım geçiren anahtarı göstermektedir. p, q birbirine seri olarak bağlanmıştır. p, q seri bağlı anahtarları ise $\displaystyle \overline{p}$ ‘ ve $\displaystyle \overline{q}$ anahtarlarına paralel olarak bağlanmışlardır. Seri olarak bağlı anahtarları göstermek için ( $\displaystyle \wedge$ ), paralel bağlı anahtarları göstermek için ise ( $\displaystyle \vee$ ) eklemi kullanılır. Buna göre şema olarak verilen devrenin önerme eklemleri mantığındaki karşılığı: $\displaystyle (p\wedge q)\vee (\sim p\wedge \sim q)$ olarak gösterilebilir. Bu tür göstermelerde ( $\displaystyle \wedge$ ) yerine (.) kullanılır. (P.qVp.q)

Bir devrenin akım geçirmesi, karşılığı olan önermenin (D) doğru değeri alabilmesi demektir. Bunun için önermenin çözümleyici çizelgesi kurulur. Açık yol varsa (önerme tutarlı ise), devre akım geçirebilir, açık yol yoksa (önerme tutarsız ise) devre hiçbir durumda akım geçirmez.

Anahtarlarının durumu ne olursa olsun, her durumda akım geçiren devreye “kısa devre” (önerme geçerli ise) denir.

B- NİCELEME MANTIĞI (YÜKLEMLER MANTIĞI)

Önerme eklemleri mantığında önermeler bütün olarak ele alınıp sembolleştirilir. Önermenin doğruluk değeri de önermeye bütünüyle verilir. Örneğin: “Bazı şeyler bilinemez” önermesi (~p) olarak sembolleştirilmişse ve verilen önermeyi (Y) olarak yorumlamışsak, (p) önermesi (D) değeri alır.

Yüklemler mantığında önermelerin iç yapısı hesaba katıldığından önermeler içinde geçen niceleyiciler de mantık değişmezi olarak işlem görür. Bununla birlikte adlar yüklemler, değişkenler de ayrı ayrı sembolleştirilir.

Değişken: Bir düzgün deyimde bir adın kaldırılmasıyla oluşan boşluğu doldurmaya yarayan im (sembol). Örnek: $\displaystyle {{G}_{x}}$ önermesinde, G: tek sayı ise x, tek sayıları gösteren değişken imidir.

Açık önerme: Bir önermede geçen bir ya da birden çok sayıda adın yerine bağsız olacak biçimde birer değişken koymakla elde edilen deyim. n-li açık önerme; $\displaystyle {{p}_{x}}$ …. $\displaystyle {{x}_{n}}$ biçiminde gösterilir.

NİCELEYİCİ DEĞİLLEME KURALLARI

$\displaystyle \sim {{\forall }_{x}}{{P}_{x}}$ gibi değillenmiş bir tümel önermenin eşdeğeri olan $\displaystyle {{\exists }_{x}}\sim {{P}_{x}}$ biçiminde $\displaystyle \sim {{\exists }_{x}}{{P}_{x}}$ gibi bir tikel önermenin eşdeğeri olan $\displaystyle {{\forall }_{x}}\sim {{P}_{x}}$ biçimine dönüştürülebilmeyi sağlayan çıkarım kurallarına denir. Bu eşdeğerliklerin incelenmesinden iki kural çıkarılabilir. (Niceleme eşdeğerliği kuralları):

a) Bir tikel önermede, tikel niceleyici (varlıksal niceleyici) işareti değilleme (~) işaretini izliyorsa ( $\displaystyle \sim {{\exists }_{x}}$ ), o önerme tümel niceleyici işaretini değilleme işaretinin izlediği tümel bir önerme ile yer değiştirebilir; iki önerme eşdeğerdir.

$\displaystyle \sim \exists {{B}_{x}}\equiv \forall \sim {{B}_{x}}$

b) Bir tümel önermede tümel niceleyicisi değilleme işaretini izliyorsa, o önerme, tikel niceleyicisini değilleme işaretinin izlediği tikel önerme ile yer değiştirebilir; İki önerme eşdeğerdir.

$\displaystyle \sim {{\forall }_{x}}{{B}_{x}}\equiv {{\exists }_{x}}\sim {{B}_{x}}$

Yukarıda verilen tanımda “niceleyici değilleme” kurallarının birer çıkarım olduğu belirtilmişti. O halde aşağıdaki gibi yazılarak geçerliliği ve tutarlılığı denetlenebilir. Böylece kullanışlarına örnek de vermiş oluruz.

TÜMEL VE TİKEL ÖZELLEME KURALI

a) Tümel Özelleme Kuralı: $\displaystyle {{\forall }_{x}}{{P}_{x}}$ gibi bir tümel önerme, çözümleyici çizelgenin açık (çelişik önerme olmayan) bir yolu üzerinde bulunuyorsa, aynı yoldaki önermelerde geçen (a) gibi ad sembollerine karşılık yolun sonuna Pa özellemesi yazılabilir. Buna tümel özelleme kuralı denir. (Ancak, (a)’nın seçildiği (E) gibi bir evrendeki tüm nesnelerin ( $\displaystyle {{P}_{x}}$ ) de (X) yerine konduklarında ( $\displaystyle {{\forall }_{x}}{{P}_{x}}$ ) önermesini doğrulamaları gerekir. Ayrıca temel mantıkla (E) evreni boş küme olmamalıdır.)