2. Dereceden Denklemin Köklerinin Karmaşık Sayı İle İlişkisi nedir, örneklerle konu anlatımı, hakkında bilgi, örnek sorular ve çözümler.
II. DERECE DENKLEMİN KÖKLERİNİN KARMAŞIK SAYI İLE İLİŞKİSİ
a, b, c ∈ $latex \displaystyle \mathbb{R}$ ve a ≠ O olmak üzere, ax +bx+c = 0 denkleminde $latex \displaystyle \Delta <0$ ise II. derece denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir.
- x1 = x + iy ve
- x2 = x – iy dir.
Örnek:
- $latex \displaystyle {{x}^{2}}+2x+2=0$ denkleminin köklerini bulunuz.
Çözüm:
- $latex \displaystyle {{x}^{2}}+2x+2=0$
- $latex \displaystyle \Delta ={{2}^{2}}-4.2=4-8=-4$
$latex \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2+\sqrt{-4}}{2}$
$latex \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2+2\sqrt{-1}}{2}$ - $latex \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2-\sqrt{-4}}{2}$
$latex \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2-2\sqrt{-1}}{2}$ - $latex \displaystyle \sqrt{-1}=i$ olduğundan,
$latex \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2+2i}{2}$
$latex \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2-2i}{2}$ - x1 = —1 + i ve x2 = -1 – i sayıları bulunur.
- Görülüyor ki,
$latex \displaystyle \overline{{{x}_{1}}}={{x}_{2}}$ veya $latex \displaystyle \overline{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}$
Örnek:
- Köklerinden biri x1 = 3 – 4i olan gerçel katsayılı ikinci derece denklemi bulunuz.
Çözüm:
- Köklerinden biri x1 = 3-4i ise diğer kök x2 = 3 + 4i dir.
- Kökler toplamı = T = x1 + x2 = (3 + 4i) + (3 – 4i) = 6
- Kökler çarpımı = Ç = x1 . x2 = (3 + 4i) . (3 – 4i) = 25
$latex \displaystyle {{x}^{2}}-Tx+=0$
$latex \displaystyle {{x}^{2}}-6x+25=0$ bulunur.
