Optimizasyon nedir, ne işe yarar? Matematiğin bir dalı olan optimizasyon nasıl yapılır, hangi alanlarda kullanılır, hakkında bilgi.
Optimizasyon
Optimizasyon; fizik, biyoloji, mühendislik, iktisat, iş planlaması gibi alanlardaki nicel problemlerin çözümünde kullanılan ilke ve yöntemlerden oluşan uygulamalı matematik dalıdır. Çok değişik alanlara ilişkin bazı problemlerin ortak yaklaşımlar ve yöntemler kullanılarak çözülebilecek biçimde ifade edilmesinin olanaklı olduğunun anlaşılması, bu matematik dalının gelişmesinde büyük rol oynamıştır.
Tipik bir optimizasyon problemi şöyle ortaya konabilir: Davranışı belirli bazı etkenlere bağlı olan bir sistemi göz önüne alalım; bu sistem bir makine, biyolojik organizmalardan oluşan bir topluluk ya da ticari bir kuruluş olabilir. Sistemi çalıştıran kişinin (işletmen) amacı sistemin etkinliğini (performans) optimize etmektir; etkinlik, işletmenin denetimi altında bulunan etkenlerin değerlerine bağımlı olduğu gibi, denetlenemeyen bazı etkenlere de bağımlıdır. Burada işletmen, sistem etkinliğini olabildiğince optimize etmek amacıyla, denetlenebilen etkenlere en uygun değerleri vermeye çalışacaktır. Örneğin göz önüne alınan bankacılık sistemi ise, burada işletmen merkez bankasının yönetim kuruludur; denetlenebilir girdiler faiz oranlan ve para arzıdır, sistemin etkinliği ise söz konusu bankacılık sisteminin içinde yer aldığı iktisadi ve siyasal birime ilişkin iktisadi göstergelerdir.
Öptimizasyon kuramının bir probleme uygulanması sürecinde ilk adım, problemle ilgili kuramsal bileşenlerin belirlenmesidir. Bu, çözümlemenin en zor bölümüdür, çünkü sistemin çalışması iyice ve tümüyle anlaşılmış ve kesin matematiksel ifadeler aracılığıyla betimlenmiş olmalıdır. Sistemin ana kuramsal bileşenleri girdiler, çıktılar ve işleme kurallarıdır. Sistemin içinde bulunabileceği durumlar bir durum kümesi oluşturur. Sistem çalışması sırasında belirli bir anda bu durumlardan birinde bulunur; bir durumdan bir başka duruma geçiş koşullarını girdi ve çıktı değerleri belirler. İşletmen, etkinlik ölçüsü olarak adlandırılan bir matematiksel niceliğin en büyük (ya da en küçük) olmasına çalışır. Etkinlik ölçüsünün değeri, sistemin geçmişinin matematiksel bir fonksiyonudur. Bu değeri, girdi değerlerinin belirli bir biçimde programlanması yoluyla etkilemek olanaklıdır. Göz önüne alınması gereken bir başka nokta da sistemin kısıtlayıcılarının belirlenmesidir. Bunlar sistem girdileri üzerindeki kısıtlamalardır ve işletmenin denetimi dışındadır.
Çok yalın optimizasyon problemleri temel diferansiyel hesap yöntemleriyle çözümlenebilir. Sistemin bir tek girdisi olduğunu varsayalım. Bu girdinin sayısal değeri x ile gösterilsin ve sistemin etkinlik ölçüsü de y=f(x) fonksiyonuyla belirlensin. Bu durumda problem şöyle ifade edilebilir: Verilen kısıtlamalar altında, x’in hangi değeri için y=f(x) fonksiyonu en büyük (ya da en küçük) değeri alır? Diferansiyel hesap kuralları, grafiği pürüzsüz bir eğri olan (bir başka deyişle, sürekli türevlenebilen) bir fonksiyonun en büyük (yâ da en küçük) değerlerinin iki tür noktada bulunabileceğini belirler: 1) Eğrinin teğetinin yatay olduğu noktalar, ya da, 2) x’in değeri kısıtlamalardan ötürü bir aralık içinde kalmak durumundaysa, bu aralığın sınır noktaları. Böylece, fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük ya da en küçük değerini bulma problemi, sınırlı sayıda değer arasından en büyük ya da en küçüğün belirlenmesi gibi daha yalın bir probleme indirgenmiş olur; bu problem de söz konusu x değerleri için f(x)’in aldığı değerler hesaplanarak çözülür.
Doğrusal programlama kuramı, iki ya da daha çok girdisi olan sistemlerde optimizasyon probleminin çözümü amacıyla geliştirilmiştir. Bu kuramda doğrusal cebirin temel kurallarından yararlanılır. Doğrusal programlama yöntemleri, yalnızca doğrusal sistemlere (bir başka deyişle, etkinlik ölçüsü girdilerin doğrusal bir fonksiyonu olan sistemlere) uygulanabilir. Doğrusal sistemler, önemli bazı iktisat ve mühendislik problemlerini içerecek kadar genel bir sınıf oluşturduğundan doğrusal programlama yaygın kullanım alanına sahiptir.
