Son Yazılar :
NKFUCOM
NKFUCOM

Kesik Silindirin Alan ve Hacim Hesaplaması

0
By on Bilgi Dünyası
Advertisement

Kesik silindirin alanı ve hacmi nasıl hesaplanır? Kesik silindirin alan ve hacim formülleri, örnek soru ve cevaplarla hesaplaması.

Kesik Silindirin Alan ve Hacmi

Bir dik dairesel silindirin taban düzlemine paralel olmayan bir düzlem ile kesilmesiyle kesik silindir elde edilir.

Kesik silindirin alt tabanı daire,

üst tabanı elipstir.

Kesik silindirin tabanları arasında eleman uzunlukları birbirinden farklıdır.

Advertisement

Kesik silindirin en uzun elemanına uzun yükseklik,

en kısa elemanına kısa yükseklik denir.

Kısa yüksekliği sıfır olan kesik silindire silindirik takoz denir.

Şekildeki kesik silindirin alt taban yarıçapı r,

üst tabanın yer düzlemiyle yaptığı açı α olsun.

Advertisement

Üst tabanın orta noktasının kenara olan en büyük uzunluğu r’ olmak üzere,

\displaystyle \cos \alpha =\frac{r}{r'} olduğundan

\displaystyle r'=\frac{r}{\cos \alpha }=r.\sec \alpha

Kesik silindirin üst tabanının yer düzlemine dik izdüşümü silindirin alt tabanıdır.

Üst taban alanı S’,

alt taban alanı S ve

üst tabanın yer düzlemiyle yaptığı açı α olmak üzere,

\displaystyle S=S'.\cos \alpha olduğundan

\displaystyle S'=\frac{S}{\cos \alpha } olur.

Advertisement

Kesik silindirin yanal yüzünün alanı, kısa ve uzun yüksekliklerinin toplamı ile alt taban çevresinin çarpımının yarısına eşittir.

Yukarıdaki şekilde verilen kesik dik silindirin yanal alanı,

\displaystyle A=\frac{2\pi r\left( h+H \right)}{2} olur.

Kesik silindirin hacmi, kısa ve uzun yüksekliklerinin toplamı ile alt taban alanının çarpımının yarısına eşittir.

Yukarıdaki şekilde verilen kesik dik silindirin hacmi,

\displaystyle V=\frac{\pi {{r}^{2}}\left( h+H \right)}{2} olur.

Örnek:

Şekildeki kesik silindirin, kısa yüksekliği 6 cm, uzun yüksekliği 16 cm dir. Silindirin,

taban yarıçapı 4 cm olduğuna göre,
a. |CD| uzunluğunu,
b. üst tabanın yer düzlemiyle yaptığı açının kosinüsünü,
c. kesik silindirin taban alanını,
d. yanal alanını,
e. toplam alanını,
f. hacmini bulalım.

Çözüm:

Advertisement
[CE] ⊥ [BD] çizersek,

|CE| =2-4 = 8 cm, |EB| = |CA| = 6 cm ve |DEj = 16-6 = 10 cm olur.

a. CED dik üçgeninde pisagor bağıntısından,

\displaystyle \left| CD \right|=2\sqrt{41} cm olur.

b. Üst tabanın yer düzlemiyle yaptığı açının ölçüsü,

\displaystyle m\left( \overset{\wedge }{\mathop{ECD}}\, \right)=\alpha

\displaystyle \cos \alpha =\frac{8}{2\sqrt{41}}=\frac{4}{\sqrt{41}}

c. Kesik silindirin alt taban alanı, S = π4² = 16π cm² dir.

Üst tabanın alanı S’ olsun. Üst tabanın dik izdüşümü alt taban olduğundan, S = S’ * cosα

\displaystyle 16\pi =S'\frac{4}{\sqrt{41}}\Rightarrow S'=4\sqrt{41}\pi cm² olur.

d. Kesik silindirin yanal alanı, kısa ve uzun yükseklikler toplamı ile taban çevresinin çarpımının yarısına eşittir.

Advertisement

\displaystyle A=\frac{2\pi r\left( h+H \right)}{2}=\frac{2\pi .4.\left( 6+16 \right)}{2}=88\pi cm² olur.

e. \displaystyle ToplamA=16\pi +4\sqrt{41}\pi +88\pi
\displaystyle ToplamA=\left( 104+4\sqrt{41} \right)\pi cm² olur.

f. Kesik silindirin hacmi, kısa ve uzun yüksekliklerinin toplamı ile alt taban alanının çarpımının yarısına eşittir.

\displaystyle V=\frac{\pi {{r}^{2}}\left( h+H \right)}{2}=\frac{\pi {{.4}^{2}}.\left( 6+16 \right)}{2}=176\pi cm³ olur.


Leave A Reply