Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi nasıl yapılır, özellikleri nelerdir? Konu anlatımı ve örnek çözümlü sorular.

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

$\displaystyle {{z}_{1}}=a+ib$ ve $\displaystyle {{z}_{2}}=x+iy$ iki karmaşık sayı olsun.

$\displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+ib \right)+\left( x+iy \right)$

$\displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+x \right)+\left( b+y \right)i$

$\displaystyle {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a+ib \right)-\left( x+iy \right)$

$\displaystyle {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a+x \right)-\left( b+y \right)i$

Toplama ve çıkarmada reel kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında toplanır ve çıkarılır.

karmasik-sayilar-toplama

karmasik-sayilar-cikarma

Örnek:

a) z1 =6 + i
z2 = -1+5i

b) z1 =5 + 4i
z2 = 6-2i

c) z1 = 2i
z2 = -5

sayıları için z1 + z2 ve z1-z2 sayılarını bulunuz.

Çözüm:

a) z1 + z2 = 6 + i – 1 + 5i = 5 + 6i
z1 – z2 = 6 + i – (-1 + 5i)
= 6 + i + 1-5i
= 7-4i

b) z1 + z2 = 5 + 4i + 6 – 2i
= 11 +2i
z1 – z2 = 5 + 4i – (6 – 2i)
= 5 + 4i – 6 + 2i
= -1 + 6i

c) z1 + z2 = 2i – 5 = -5 + 2i
z1 – z2 = 2i – (-5)
= 5 + 2i

Toplama İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık Özelliği

Her $\displaystyle {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C}$ için $\displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{2}}\in \mathbb{C}$ olduğundan karmaşık sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır denir.

2. Birim Eleman Özelliği

$\displaystyle {{z}_{1}}\in \mathbb{C}$ ve 0 = 0+0i olmak üzere

$\displaystyle {{z}_{1}}+0=0+{{z}_{1}}={{z}_{1}}$ olduğundan 0 elemanı karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre birim elemandır.

3. Ters Eleman Özelliği

z = a + ib ve -z = -a – ib olmak üzere,

z+(-z) = 0 olduğundan karmaşık sayılar kümesinde her elemanın toplamaya göre tersi vardır, z = a + ib sayısının toplama işlemine göre tersi -z = -a – ib dir.

4. Birleşme Özelliği

$\displaystyle {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ karmaşık sayılar olmak üzere,

$\displaystyle \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+{{z}_{3}}={{z}_{1}}+\left( {{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)$ olduğundan birleşme özelliği vardır.

5. Değişme Özelliği

$\displaystyle {{z}_{1}},{{z}_{2}}$ karmaşık sayılar olmak üzere,

$\displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{2}}={{z}_{2}}+{{z}_{1}}$ olduğundan değişme özelliği vardır. Bu sonuçlara göre $\displaystyle \left( \mathbb{C},+ \right)$ sistemi bir değişmeli grup (Abel Grubu) oluşturur.