Çeşitli üçgenler, bu üçgenlerin özellikleri ve çeşidine göre üçgenlerin nasıl çizilebileceği ile ilgili bilgilerin yer aldığı yazımız.
Üçgenlerin Çeşitleri ve Özellikleri
Birisi size: «Bana bir kare çiz!» derse hemen çizersiniz; çünkü, karenin ancak bir çeşidi vardır: Dört kenarı da birbirine eşittir; tavla zarının bir yüzü gibi. Gene biri size: «Bir dik dörtgen çiz!» derse, bu da kolaydır; iki kenarı kısa, iki kenarı uzun bir dörtgen çizersiniz; kibrit kutusunun yüzlerinden her biri gibi. Gelgelelim, bize: «Bir üçgen çiz!» dedikleri zaman sorarız: «Ne biçim bir üçgen?»
Gerçekten, üçgenlerin çok çeşidi var: Dik üçgen, ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen, çeşitkenar üçgen…
Üçgenlerin çeşitlerine göre ayrı ayrı çizimleri vardır. Şimdi bunları örneklerle görelim:
DİK ÜÇGENLERİN ÖZELLİKLERİ
İki kenarı birbirine dik olan, yani iki kenarı arasındaki açı 90° olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki kenar ise hipotenüs adını alır. Dik üçgenin bir açısı 90° olduğuna göre öteki iki açısının toplamı da 90° olacaktır. Buradan da şu sonuca varırız:
• Dik üçgenlerde geniş açı bulunmaz.
Bildiğimiz gibi 90°’den büyük açılara geniş açı diyorduk. Dik üçgende en büyük açı 90°’dir, ötekiler ise dar açıdır. Bu durumdan şu sonucu da çıkarabiliriz:
• Bir dik üçgende en büyük kenar dik açı karşısındaki hipotenüstür.
Çünkü, gene bildiğimiz gibi, bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
DİK ÜÇGENLERİN ÇİZİMİ
Dik üçgenlerin çizimi için, herhangi bir üçgendeki gibi üç elemanın bilinmesi gerekli değildir, iki elemanı bilinen dik üçgen çizilebilir, çünkü üçüncü eleman olarak dik açı zaten bilinmektedir.
Şimdi çizim örneklerini görelim.
• İki dik kenarı verilen dik üçgenin çizimi:
Bu en kolay çizimlerden biridir. Her zamanki gibi gene örnek üçgeni çizerek işe başlarız. Demek ki b ve a kenarlarını biliyoruz. Herhangi bir dik açı alırız. Bu açının köşesi C noktasıdır. Bu açının bir kenarı üzerinde pergelle verilen b uzunluğu kadar, öteki kenarı üzerinde de gene verilen a uzunluğu kadar alırız. Böylece elde ettiğimiz A ve B noktalarını birleştirerek üçgenin çizimini tamamlarız.
• Bir dar açısı (B) ile bir dik kenarı (a) verilen dik üçgenin çizimi:
Verilen B açısını aldıktan sonra bunun bir kenarı üzerinde pergelle a uzunluğunu işaretleyip C noktasını buluruz. C noktasından BC doğrusuna gene pergel, cetvel yardımıyla bir dik çizeriz. Bu dikin B açısının öteki kenarını kestiği nokta A noktasıdır. Böylece aradığımız üçgen çizilmiş olur.
Dik üçgenin bir özelliği daha vardır ki bazı çizimlerde işimize yarar: Şekilden de görüldüğü gibi, üçgenin dik kenarları aynı zamanda yükseklikleri’dir. Yani ha = b ve hb = a’dır. Dik üçgende, kenarlardan ayrı yalnız h, yüksekliği çizilebilir. Buna hipotenüse ait yükseklik denir.
• Bir kenarı (b) ile bir yüksekliği (hc) verilen dik üçgenin çizimi:
Örnek üçgene bakarsak görürüz ki aranan ABC dik üçgenini birden çizmemiz mümkün değildir. Çünkü bu üçgenin ancak iki elemanını biliyoruz: b kenarı ile dik olan C açısını. Oysa, bir üçgeni çizmek için en az, 3 elemanını bilmemiz gerekir. Öyleyse örnek üçgen üzerinde çizebileceğimiz başka üçgenler ararız. Gerçekten de ADC dik üçgenini çizmek için elimizde yeterli bilgi olduğunu görürüz.
Bir üçgenin iki kenarını (hc ile b) bir dik açısını (ADC) bilmekteyiz. Çizime bu üçgeni çizerek başlarız. Herhangi bir k doğrusu alırız. Bunun üzerinde bir D noktası işaretleriz. D’den bir dik çıkarız, bunun üzerinde pergelle hc kadar alarak C noktasını buluruz. Bu kez pergeli b kadar açıp, sivri ucunu C’ye koyar, k doğrusunu kestiririz. Bulduğumuz nokta A’dır. Böylece ADC üçgenini çizmiş oluruz. Artık işimiz kolaylaşmıştır. C noktasında, CA doğrusuna bir dik çizeriz. Bu dikin k doğrusunu kestiği nokta ise B’dir. Artık asıl üçgenin çizimi de tamamlanmıştır.
İKİZKENAR ÜÇGENLERİN ÖZELLİKLERİ
İki kenarı eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen adı verilir. Demek ki:
• İkizkenar üçgende b = c bağlantısı vardır.
Öte yandan:
• İkizkenar üçgende taban açıları adını alan B ve C açıları da birbirine eşittir: B = C.
Bu özellikleri ikizkenar üçgeni hem tanımamıza, hem de kolayca çizmemize yardım eder. İkizkenar üçgenin bu özellikleri başka sonuçlar da doğurur. Tepe noktasından tabana indirilen dikme yani ha yüksekliği tabanın kenar ortayı, aynı zamanda A tepe açısının ortayıdır. Demek ki:
• İkizkenar bir üçgende tabana ait kenarortay, yükseklik ve tepe açısının ortayı aynı doğrudur:
ha = va = na
İKİZKENAR ÜÇGEN ÇİZİMLERİ
İki elemanı bilinen ikizkenar üçgenleri kolayca çizebiliriz. Çünkü ikizkenar üçgenin özellikleri bize başka bilgiler de verir.
• a kenarı ile ha yüksekliği verilen ikizkenar üçgenin çizimi:
Önce verilen a kenarını alırız. Sonra pergelle, cetvelle bu kenarın orta dikmesini çizeriz. Bu dikme üzerinde ha kadar alırsak A köşesini buluruz. A’yı B ve C köşelerine birleştirerek üçgenin çizimini tamamlarız.
• a tabanı ve A tepe açısı verilen ikizkenar üçgenin çizimi:
Tepe açısını bildiğimize göre, üçgenin taban açılarını bulabiliriz. 180°’den A açısını çıkarırız, bulduğumuz açıyı iki eşit parçaya böleriz. Böylece B ve C açılarını elde etmiş oluruz. Bundan sonra çizim kolaylaşmıştır: a kenarını alır, iki ucundan B ve C açılarını çizer, uzatırız. İki doğrunun kesim noktası A köşesidir.
EŞKENAR ÜÇGENLERİN ÖZELLİKLERİ
Üç kenarı birbirine eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.
• Eşkenar üçgenin üç açısı da birbirine eşittir.
Ayrıca:
• Eşkenar üçgende, bir kenarın kenarortayı, yüksekliği ve bu kenarın karşı köşesinden indirilen yükseklik aynı doğrudur.
Bu durum üç kenar için de geçerlidir. Üstelik bu dokuz büyüklük de birbirine eşittir.
Bu özelliklerden dolayı iki elemanı verilen eşkenar üçgeni de çizebiliriz. Hatta açı olmamak üzere tek elemanı verilen eşkenar üçgen bile çizilebilir. Burada örnek olarak a kenarı verilen eşkenar üçgenin çizimini göreceğiz. Aslında bir kenar ortayı verilen eşkenar üçgen de çizilebilir, ancak bu çizimi yapmak için şimdilik yeterli bilgimiz yok.
• a kenarı verilen eşkenar üçgenin çizimi:
a kenarını aldıktan sonra pergelimizi gene a kadar açar, sivri ucunu B’ye koyar, bir yay çizeriz. Sonra sivri ucu C’ye koyup gene a yarıçaplı bir yay çizeriz. İki yayın kesim noktası A köşesidir. Böylece istediğimiz eşkenar üçgeni bulmuş oluruz.
ÇEŞİTKENAR ÜÇGENLERİN ÖZELLİKLERİ
Hiçbir kenarı, dolayısıyla hiçbir açısı birbirine eşit olmayan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir.
Geometride, özel olarak belirtilmezse, üçgen denince hep çeşitkenar üçgen anlaşılır. Üçgenlerin en genel durumudur. Böyle bir üçgeni çizmek için, üçü de açı olmamak üzere, 3 elemanının verilmesi gerekir.
• a kenarı, c kenarı ve va kenar ortayı verilen üçgenin çizimi:
ABC üçgeninin 3 kenarını da biliyoruz. Öyleyse önce bu üçgeni çizeriz. Sonra BD kenarını uzatır, D’den başlayarak a/2 kadar daha alırız. Bulduğumuz nokta C olur. A ile C’yi birleştirirsek üçgenin çizimi tamamlanmış olur.
