Süreklilik Konu Anlatımı ve Örnekler

Süreklilik nedir? Süreklilik konu anlatımı, özellikleri, hesaplanması, örnek sorular ve çözümleri.

SÜREKLİLİK:

Tanım: $\displaystyle A\subset R,{{x}_{0}}\in A$ olmak üzere $\displaystyle f:A\to R$ fonksiyonu tanımlansın. f(x) fonksiyonu için:

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$ ise f(x) fonksiyonu $\displaystyle {{x}_{0}}$ noktasında süreklidir, denir.

Fonksiyon $\displaystyle x={{x}_{0}}$ noktasında sürekli değilse bu noktada süreksizdir denir.

ÖZELLİKLER:

1) f(x) fonksiyonunun $\displaystyle x={{x}_{0}}$ noktasında limiti yoksa bu noktada süreksizdir.

2) f(x)in $\displaystyle x={{x}_{0}}$ da limiti varsa bu noktada sürekli olmak zorunda değildir.

3) f(x), $\displaystyle x={{x}_{0}}$ da limitli ve bu noktada tanımlı ise x=Xq da sürekli olmak zorunda değildir.

4) f(x), $\displaystyle x={{x}_{0}}$ da sürekli ise bu noktada limiti vardır.

5) f(x), $\displaystyle x={{x}_{0}}$ da süreksiz ise bu noktada limitsiz olmak zorunda değildir.

6) f(x), $\displaystyle x={{x}_{0}}$ da tanımlı değilse bu noktada süreksizdir.

7) f(x), (a, b) aralığının her noktasında sürekli ise (a,b) aralığında süreklidir denir.

8) (a,b) aralığında tanımlı bir f(x) fonksiyonu x=a ve x=b de sürekli değildir.

ÖRNEK:

$\displaystyle f:A\to R;f\left( x \right)=\frac{\left( 2x+1 \right)}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$ fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi yazınız.

ÇÖZÜM:

$\displaystyle f:A\to R;f\left( x \right)=\frac{\left( 2x+1 \right)}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$ fonksiyonu

$\displaystyle {{x}^{2}}-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

$\displaystyle {{x}^{2}}+1=0\Rightarrow x=\varnothing$ noktalarında tanımlı olmadığından sürekli de değildir. Sürekli olduğu noktalar kümesi S= R-[±2] olur.

ÖRNEK:

sureklilik

y=f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. Buna göre fonksiyon;

a) x= -5 de süreksiz (limit ve fonksiyon değeri farklı)
b) x= -3 de sürekli
c) x= -1 de süreksiz (limit yok)
d) x=1 de süreksiz, (limit yok)
e) x=2 de sürekli
f) x=3 de süreksiz (limit yok)

ÖRNEK:
$\displaystyle f:R\to R$

$\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}-3;x<2$
$\displaystyle f\left( x \right)=x+m;x=2$
$\displaystyle f\left( x \right)=2x+2p;x>2$

fonksiyonu x=2 noktasında sürekli ise m+p toplamı nedir?

ÇÖZÜM:

f(x), x=2 de sürekli ise

$\displaystyle f\left( 2 \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ olmalıdır.