Asal Çarpanlara Ayırma Nasıl Yapılır? OBEB ve OKEK nedir? Nasıl Hesaplanır? Konu Anlatımı

Asal çarpanlara nasıl ayrılır? OBEB nedir? OKEK nedir? Bir sayma sayısını asal çarpanlara ayrılması, 2 sayının ortak bölenlerin en büyüğü ile en ortak katların en küçüğünün bulunması

Kaynak: pixabay.com

Bir Sayma Sayısının Asal Çarpanlara Ayrılması;

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayının çarpanlarını, yani başka sayıların çarpımı şeklinde ifade etmektir. Bu işlem, matematiksel analizlerde ve özellikle sayı teorisinde önemli bir yere sahiptir.

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması, o sayının bölünebilirliği hakkında da bilgi verir. Örneğin, bir sayının asal çarpanlarına ayrıldığında, bu sayının tam bölenlerini de kolayca bulabiliriz.

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması, çeşitli yöntemlerle yapılabilir. En yaygın yöntemlerden biri, sayının küçük asal sayılara bölünerek çarpanlarına ayrılmasıdır. Bu yöntem, asal sayıların tanımı gereği, tüm sayıların en az bir asal çarpana sahip olduğu gerçeği üzerine dayanır.

Örneğin, 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılması aşağıdaki gibi yapılabilir: 120 = 2 x 60 60 = 2 x 30 30 = 2 x 15 15 = 3 x 5

Böylece, 120 sayısı 2, 2, 2, 3 ve 5 asal sayılarının çarpımı şeklinde ifade edilir: 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5

Bu işlem, 120 sayısının tam bölenlerini de bulmak için kullanılabilir. Örneğin, 120 sayısının tam bölenleri aşağıdaki gibi bulunabilir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

Burada, 120 sayısının tam bölenleri, çarpanlarına ayrılmış halindeki asal sayıların çarpımlarından elde edilir.

Kural:

a asal sayı olmak üzere aⁿ sayısını bölebilen (n+1) tane sayma sayısı vardır.

Tam Bölenlerin Sayısı:

x, y, z e N⁺ ve a, b, c farklı asal sayılar olmak üzere, A pozitif tamsayısı A= a^x. b^y. c^z şeklinde ise A’nın pozitif bölenleri sayısı : (x+l). (y+1). (z+1) olur. Bu sonucun 2 katı A’nın pozitif ve negatif tüm tam bölenleri sayısını verir.

Bir sayının tam bölenleri, o sayıya tam olarak bölünebilen sayılardır. Örneğin, 12 sayısının tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir.

Bir sayının tam bölenlerinin sayısı, o sayının asal çarpanlarına ayrılmasıyla bulunabilir. Bir sayı, aşağıdaki gibi asal çarpanlarına ayrılmışsa: n = p1^a1 x p2^a2 x p3^a3 x … x pk^ak

Burada, p1, p2, p3, …, pk asal sayılar ve a1, a2, a3, …, ak pozitif tam sayılar ise, bu sayının tam bölen sayısı, (a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1) şeklinde hesaplanabilir.

Örneğin, 12 sayısının asal çarpanlarına ayrılması 2^2 x 3^1 şeklinde yapılabilir. Bu durumda, 12 sayısının tam bölen sayısı (2+1) x (1+1) = 6’dır.

Bir başka örnek olarak, 30 sayısının asal çarpanlarına ayrılması 2^1 x 3^1 x 5^1 şeklinde yapılabilir. Bu durumda, 30 sayısının tam bölen sayısı (1+1) x (1+1) x (1+1) = 8’dir.

Bu formül, bir sayının tam bölenlerinin sayısını hızlı ve kolay bir şekilde hesaplamak için kullanılabilir. Ancak, büyük sayılar için asal çarpanlara ayırma işlemi oldukça zorlu olabilir.

Kriptografide Asal Sayılar Nasıl Kullanılır? Trapdoor ve Anahtarlar

Kaynak: pixabay.com

Pozitif Bölenler Toplamı:

A – a^x. b^y. c^z sayısının pozitif bölenleri toplamı, $\displaystyle \left( 1+a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{x}} \right)\left( 1+b+{{b}^{2}}+...+{{b}^{y}} \right)\left( 1+c+{{c}^{2}}+...+{{c}^{z}} \right)$

Bir sayının pozitif bölenleri, o sayıya tam olarak bölünebilen ve pozitif olan sayılardır. Örneğin, 12 sayısının pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir.

Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamı, o sayının asal çarpanlarına ayrılmasıyla bulunabilir. Bir sayı, aşağıdaki gibi asal çarpanlarına ayrılmışsa: n = p1^a1 x p2^a2 x p3^a3 x … x pk^ak

Burada, p1, p2, p3, …, pk asal sayılar ve a1, a2, a3, …, ak pozitif tam sayılar ise, bu sayının pozitif bölenleri toplamı, (1+p1+p1^2+…+p1^a1) x (1+p2+p2^2+…+p2^a2) x … x (1+pk+pk^2+…+pk^ak) şeklinde hesaplanabilir.

Bu formülde, her bir asal sayının 0’dan a1’e kadar olan üsleri için toplama işlemi yapılır. Örneğin, 12 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

12 = 2^2 x 3^1

(1+2+4) x (1+3) = 7 x 4 = 28

Bu durumda, 12 sayısının pozitif bölenleri toplamı 28’dir.

Bir başka örnek olarak, 30 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

30 = 2^1 x 3^1 x 5^1

(1+2) x (1+3) x (1+5) = 3 x 4 x 6 = 72

Bu durumda, 30 sayısının pozitif bölenleri toplamı 72’dir.

Bu formül, bir sayının pozitif bölenlerinin toplamını hızlı ve kolay bir şekilde hesaplamak için kullanılabilir. Ancak, büyük sayılar için asal çarpanlara ayırma işlemi oldukça zorlu olabilir.

Pozitif Bölenleri Sayısı:

= ((2+1). (2+1). (1+1) = 3.3.2 = 18’dir.

Pozitif Bölenlerin Toplamı:

= (1+2+2²). (1+3+3²). (1+5) = 7. 13. 6 = 546 olur.

Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB):

Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB), verilen iki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasından en büyük olanını ifade eder. OBEB, bir sayının kendisiyle de tam bölündüğü için, herhangi iki sayının ortak bölenlerinden en az bir tanesi 1’dir.

OBEB’i bulmak için, verilen sayıların her birinin asal çarpanlarına ayrılması gerekmektedir. Ardından, sayıların ortak asal çarpanlarından en düşük üslere sahip olanlarının çarpımı, OBEB’i verir. Örneğin, 24 ve 36 sayılarının OBEB’i aşağıdaki gibi bulunabilir:

24 = 2^3 x 3^1 36 = 2^2 x 3^2

24 ve 36 sayılarının ortak asal çarpanları 2 ve 3’tür. 2^2 x 3^1 = 12 olduğu için, 24 ve 36 sayılarının OBEB’i 12’dir.

Bir başka örnek olarak, 45 ve 75 sayılarının OBEB’i aşağıdaki gibi bulunabilir:

45 = 3^2 x 5^1 75 = 3^1 x 5^2

45 ve 75 sayılarının ortak asal çarpanları 3 ve 5’tür. 3^1 x 5^1 = 15 olduğu için, 45 ve 75 sayılarının OBEB’i 15’tir.

OBEB hesaplama işlemi, daha fazla sayı için de genişletilebilir. İki veya daha fazla sayı arasındaki OBEB, bu sayıların asal çarpanlarına ayrılarak bulunabilir. Bu yöntem, en yaygın olarak kullanılan OBEB hesaplama yöntemidir.

Ortak Katların En Küçüğü (OKEK):

Ortak Katların En Küçüğü (OKEK), verilen iki veya daha fazla sayının ortak katları arasından en küçük olanını ifade eder. OKEK, verilen sayıların her birini tam bölen en küçük sayıya eşitleyen bir sayıdır.

OKEK’i bulmak için, verilen sayıların her birinin asal çarpanlarına ayrılması gerekmektedir. Ardından, sayıların ortak asal çarpanlarından en yüksek üslere sahip olanlarının çarpımı, OKEK’i verir. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının OKEK’i aşağıdaki gibi bulunabilir:

12 = 2^2 x 3^1 18 = 2^1 x 3^2

12 ve 18 sayılarının ortak asal çarpanları 2 ve 3’tür. 2^2 x 3^2 = 36 olduğu için, 12 ve 18 sayılarının OKEK’i 36’dır.

Bir başka örnek olarak, 15 ve 20 sayılarının OKEK’i aşağıdaki gibi bulunabilir:

15 = 3^1 x 5^1 20 = 2^2 x 5^1

15 ve 20 sayılarının ortak asal çarpanları 5’tir. 2^2 x 3^1 x 5^1 = 60 olduğu için, 15 ve 20 sayılarının OKEK’i 60’tır.

OKEK hesaplama işlemi, daha fazla sayı için de genişletilebilir. İki veya daha fazla sayı arasındaki OKEK, bu sayıların asal çarpanlarına ayrılarak bulunabilir. Bu yöntem, en yaygın olarak kullanılan OKEK hesaplama yöntemidir.