Bağıntı Konu Anlatımı

Bağıntı nedir? Matematikte bağıntı konusunun anlatımı, bağıntının özellikleri, çeşitleri, çözümlü örnekler.

BAĞINTI

BAĞINTI:

AxB’nin her alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. Buna göre β ⊂ AxB olur. AxB’de β bağıntısı tanımlanmış olsun.

β={…., (x,y),…..}olduğunda

(x,y) ∈ β veya yβx yazılır.

ÖRNEK:

A={1,2,3}, B = {a,b} kümeleri veriliyor

β1={(1,a), (3,a)}

β2= {(2,a)}

β3= Ø, AxB’de tanımlanan bazı bağıntılardır.

NOT:

s(A)=m, s(B)=n ise

A’dan B’ye tanımlanan bağıntıların sayısı=2^nm

A’dan B’ye tanımlanan p elemanlı bağıntıların sayısı = $\displaystyle \left( \begin{array}{l}n.m\\P\end{array} \right)$

(m.n. nin P li kombinasyonu)

TERS BAĞINTI:

A’dan B’ye tanımlanan bir β bağıntısı verilsin. (x,y) elemanlarının bileşenlerinin yerlerini değiştirmekle elde edilen bağıntıya β’nın tersi denir ve β^-1 ile gösterilir. Buna göre;

(x,y)∈ β <=> (y,x) ∈ β^-1‘ dir.

ÖRNEK:

A={ 1,2,3} ve β={(x,y): x ≤ y ve (x,y) ∈ A2}

verilsin β^-1 bağıntısını yazınız.

β ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)}

β^-1 = {(1,1),(2,1), (3,1), (2,2), (3,2), (3,3)} olur.

BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ:

1) Yansıma özelliği:

A’da tanımlı β bağıntısı verilsin.∀ x∈ A için (x,x) ∈ β ise (her eleman kendisine bağlanıyorsa), bağıntı yansıyandır

n elemanlı bir A kümesinde tanımlı yansıyan bağıntıların sayısı 2ⁿ²-n dir.

ÖRNEK:

A={a,b,c} kümesinde tanımlı

β1= {(a,a), (a,b), (b,b), (a,c), (c,c)} bağıntısı yansıyan bağıntıdır.

β2={(a,a), (a,b), (c,c)} bağıntısı ise yansıyan değildir.

((b,b)∉ β)

2) Simetri özelliği:

A’da tanımlı β bağıntısı verilsin. ∀(x,y)∈ β için (y,x)∈ β ise β bağıntısı simetriktir.

ÖRNEK:

A={a,b,c} kümesinde tanımlı;

β1={(b,a), (a,b), (b,c), (c,b)} bağıntısı simetriktir.

β2={(a,b), (b,b), (b,c), (c,b)} bağıntısı simetrik değildir.

((b,a)∉ β)

3) Ters simetri özelliği:

A’da tanımlı β bağıntısı verilsin.

(x,y) ∈ β => (y,x)∉ β ya da

(x,y) ∈ ∧ (x,y)∈ β için x=y ise β bağıntısı ters-simetriktir.

ÖRNEK:

A={a,b,c} kümesinde tanımlı

β1={ (a,a), (b,b), (c,c), (b,a)} bağıntısı ters-simetrik bağıntıdır.

β2={(a,a), (a,b), (b,a)} bağıntısı ters-simetrik değildir.

( (a,b)∈ β, (b,a)∈ β)

4) Geçişme özelliği:

A’da tanımlı β bağıntısı verilsin. ∀(x,y) ∧ (y,z)∈ β =>(y,z)∈ β olursa, β bağıntısının geçişme özelliği vardır.

ÖRNEK:

A={a,b,c} kümesinde tanımlı

β1={(a,a), (a,b), (b,c), (a,c)} geçişken,

β2=((b,b), (c,b), (a,c)( geçişken değil.

((a,c) ve (c,b) ∈ β olduğu halde(a,b)∉ β)

NOT: Bir β bağıntısında (x,y) ∈ β için y ile başlayan veya x ile biten ikili yoksa bağıntı geçişkendir.

ÖRNEK:

A={a,b,c} için, β1={(a,b)} geçişken β2={(a,a), (b,b), (c,c)} geçişken

DENKLİK BAĞINTISI:

A’da tanımlı bir β bağıntısının yansıma, simetri, geçişme özellikleri varsa β’ya denklik bağıntısı adı verilir.

DENKLİK SINIFI:

Bir β denklik bağıntısında (x,y) gibi x ile başlayan ikililerin ikinci bileşeni olan y’lerin oluşturduğu kümeye x’in denklik sınıfı denir ve x ile gösterilir.Bir denklik sınıfındaki her elemana denk eleman denir.

ÖZELLİKLER:

1) Denklik sınıfları ikişer ikişer ayrıktır.

2) Bütün denklik sınıflarının birleşimi β’ nın tanımlandığı A kümesini verir.

ÖRNEK:

A={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinde

β= {(x,y): 3 I x-y), (x,y) ∈ A²} bağıntısının özelliklerini inceleyiniz.

Denklik bağıntısı ise denklik sınıflarını yazınız ve β’nın eleman sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:

(x,y) ∈ β ise 3I x-y (x-y, 3 ile bölünür)

x-y=3k’dır. (k∈ Z)

a) x-x=3k

0=3k =>0=3.0 yansıma özelliği var.

b) x-y=3k=> -(x-y) = 3k

y-x=3.(-k) simetri özelliği var.

c) x-y= 3k1
y-z= 3k2
———————
x-z = 3 (k1+k2) / m

x-z = 3m geçişme özelliği vardır.

Bu durumda β, denklik bağıntısı olur.

Denklik sınıfları

$\displaystyle \overline{1}=\{1,4,7\},\overline{2}=\{2,5,8\},\overline{3}=\{3,6,9\}$

Denklik bağıntısının eleman sayısı, denklik sınıflarını gösteren kümenin eleman sayılarının kareleri toplamıdır.

$\displaystyle s(\beta )={{\left[ s\left( \overline{1} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ s\left( \overline{2} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ s\left( \overline{3} \right) \right]}^{2}}$