Bileşke Fonksiyon Konu Anlatımı (Örnek Sorular ve Çözümleri İle Birlikte)

Bileşke fonksiyon nedir? Bileşke fonksiyon nasıl çözülür? Bileşke fonksiyon konusu örneklerle anlatımı, soru ve çözümleri.

BİLEŞKE FONKSİYON:

f:A→B ve g:B→C fonksiyonları verilsin. f(x) = y ve g(y) = z olsun

gof: A→C , (gof) (x) = z olan fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.

(gof) (x) = g[f(x)] dir.

ÖRNEK:

R’den R ye tanımlı f ve g fonksiyonlan; f(x) =3x-2

g(x)= 5x+l şeklinde veriliyor, (fog) (x) ve (gof) (x)’i bulalım.

ÇÖZÜM:

• (fog) (x) = f [g(x)]
• =3(g(x))-2
• =3(5x+l)-2 =15x+3-2 =15x+l ve
• (gof) (x) – (5x+l) o (3x-2)
• =5(3x-2)+l
• =15x-10+l
• =15x-9
• (fog) (x) ve (gof) (x) ayrı ayrı yöntemlerle bulunmuştur.

ÖZELLİKLER:

1) f≠g için fog ≠ gof

2) (fog) oh =f o(goh)

3) fol = Iof=f

4) (fof^-1) (x) = (f^-1of) (x) = I (x) =x

5) f ve g birebir ve örten fonksiyonlar olmak üzere; (fog)^-1 = g^-1 of^-1 dir.

6) (f^-1)^-1 = f

ÖRNEK: 1

Tanımlı olduğu aralıkta birebir ve örten f ve g fonksiyonları için; (f^-1og) (x) =2x+l

g(x) = 2x-3 ise f(2) değeri nedir?

ÇÖZÜM:

• g(x) = 2x-3 → g^-1(x) = x+3 / 2-
• (f^-1og)og-1 = f^-1 o (gog^-1) =f^-1 ol = f^-1 olduğundan
• f^-1 (x) = (2x+l) o (x+3 /2)
• f^-1 (x) = 2.(x+3 / 2) +1 = x+3+l
• f^-1 (x) = x+4
• f (x) = x-4 =>f(2)=2-4
• f (2) = -2 olur.

ÖRNEK: 2

• f(x+3 /2) = 3x+l ise,
• a) f(x)
• b) f^-1(4)
• c) f(x+2) yi bulalım?

ÇÖZÜM;

• a) $latex \displaystyle f(\frac{x-3}{2})=3x+1$ h(x) olsun
• $latex \displaystyle f(h\left( x \right))=3x+1$
• $latex \displaystyle \left( foh \right)o{{h}^{-1}}=f$
• $latex \displaystyle f\left( \frac{x-3}{2}o2x+3 \right)=\left( 3x+1 \right)o\left( 2x+3 \right)$
• $latex \displaystyle f\left( x \right)=3\left( 2x+3 \right)+1$
• $latex \displaystyle f\left( x \right)=6x+10$
• b) $latex \displaystyle {{f}^{-1}}\left( x \right)=\frac{x-10}{6}$
• $latex \displaystyle {{f}^{-1}}\left( 4 \right)=\frac{4-10}{6}=-1$
• c) $latex \displaystyle \begin{array}{l}f\left( x \right)=6x+10\\f(x+2)=6(x+2)+10\\f(x+2)=6x+22\end{array}$

ÖRNEK;

• A= {1,2,3,4} de tanımlı
• $latex \displaystyle {{f}_{1}}=\left( \begin{array}{l}1234\\4123\end{array} \right)$
• $latex \displaystyle {{f}_{2}}=\left( \begin{array}{l}1234\\1423\end{array} \right)$ için
• f^-11 o f₂ = ?

ÇÖZÜM;

• $latex \displaystyle {{f}_{1}}=\left( \begin{array}{l}1234\\4123\end{array} \right)$
• $latex \displaystyle f_{1}^{-1}=\left( \begin{array}{l}1234\\2341\end{array} \right)$
• $latex \displaystyle f_{1}^{-1}o{{f}_{2}}=\left( \begin{array}{l}1234\\2341\end{array} \right)o\left( \begin{array}{l}1234\\1423\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}1234\\2134\end{array} \right)$