12. sınıf geometri konusu, düzlemin kapalı denklemi Denklemi nedir, nasıl hesaplanır, örnek sorular.
Düzlemin Kapalı Denklemi
Yukarıdaki şekilde, noktasından geçen ve normal vektörü olan E düzlemi veriliyor.,,
düzleme dik olduğundan, düzleme paralel veya düzlem üzerinde bulunan vektörlere de diktir.
Buna göre,
A(x, y, z), düzlem üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere,
olur.
Dik iki vektörün Öklid iç çarpımı sıfıra eşit olduğundan,
olur.
eşitliğine düzlemin kapalı denklemi denir.
Örnek:
Uzayda, P(5, -1, 3) noktasından geçen ve vektörüne dik olan düzlemin kapalı denklemini bulalım.
Çözüm:
A(x, y, z) düzlem üzerinde bir nokta olmak üzere,
olur.
Buna göre, düzlemin kapalı denklemi,
2(x – 5) – 4(y + 1) + 5(z-3) = 0
2x- 10-4y-4 + 5z – 15 = 0
2x – 4y + 5z – 29 = 0 bulunur.
Örnek:
XYZ dik koordinat sisteminde, XOY, YOZ ve XOZ düzlemlerinin denklemlerini bulalım.
Çözüm:
Koordinatları düzlemleri O(0, 0, 0) noktasında kesişmektedir. XOY düzleminin normal vektörü N1 = (0, 0, 1) dir.
XOY üzerindeki bir A(x, y, z) noktası için
0 . x + 0 . y + 1 . z = 0 olduğundan, düzlem denklemi z = 0 bulunur.
Benzer şekilde,
YOZ düzleminin denklemi x = 0 ve
XOZ düzleminin denklemi y = 0 bulunur.
Tanım
A, B, C, D ∈ R için,
Ax + By + Cz + D = 0 eşitliğine düzlemin kapalı denklemi denir.
Bu eşitlikte x, y ve z nin katsayıları düzlemin normal vektörünün bileşenleridir.
Bir P noktasından geçen ve N vektörüne dik olan düzlemin kapalı denkleminde,
ile bulunur.
Örnek:
2x + 5y-z + 5 = 0 düzleminin normal vektörünü bulalım.
Çözüm
Verilen denklemde x, y ve z nin katsayıları düzlemin normal vektörünün bileşenleridir. Buna göre,
bulunur.
ÖrneK
P(k, 1, -2) noktası 5x-3y + z- 5 = 0 düzlemi üzerinde olduğuna göre, k nın değerini bulalım.
Çözüm
P noktasının koordinatları düzlem denklemini sağlar. Buna göre, 5k-3-2-5 = 0
5k = 10 ⇒ k = 2 bulunur.
Örnek
F(2, 3, 4) noktası x + 2y-3z + D = 0 düzlemi üzerinde olduğuna göre, D nin değerini bulalım.
Çözüm
F noktasının koordinatları düzlem denklemini sağlar. Buna göre,
2 + 2- 3- 3- 4 + D = 0
2 + 6-12 + D = 0
-4 + D = 0 ⇒ D = 4 bulunur.