Karmaşık Sayılarda Eşlenik ve Modül (Mutlak Değer) Özellikleri Nelerdir?

Karmaşık sayılarda eşlenik ve modül (mutlak değer) özellikleri nelerdir? Maddeler halinde açıklaması ve örnek sorular ve çözümleri

Karmaşık Sayılarda Eşlenik ve Modül

Karmaşık Sayılarda Eşlenik ve Modül Özellikleri

$\displaystyle z=a+ib$ ve $\displaystyle {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C}$ olmak üzere,

1. $\displaystyle \overline{\left( z \right)}=z$

2. $\displaystyle \overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}$

3. $\displaystyle \overline{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}-\overline{{{z}_{2}}}$

4. $\displaystyle \overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}$

5. $\displaystyle \overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}},\left( {{z}_{2}}\ne 0 \right)$

6. $\displaystyle z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

7. $\displaystyle \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|$

8. $\displaystyle \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|},\left( {{z}_{2}}\ne 0 \right)$

9. $\displaystyle \overline{\left( {{z}^{n}} \right)}={{\overline{\left( z \right)}}^{n}}$

10. $\displaystyle \left| {{z}^{n}} \right|={{\left| z \right|}^{n}}$

11. $\displaystyle \left| z \right|=\left| \overline{z} \right|=\left| -z \right|=\left| -\overline{z} \right|$

12. $\displaystyle \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dir. (üçgen eşitsizliği)

Örnek:

$\displaystyle z=\frac{-3\sqrt{2}+i}{1+3\sqrt{2i}}$ için, $\displaystyle \left| z \right|$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

$\displaystyle \left| z \right|=\left| \frac{-3\sqrt{2}+i}{1+3\sqrt{2i}} \right|=\left| \frac{-3\sqrt{2}+i}{1+3\sqrt{2i}} \right|$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{{{\left( -3\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{18+1}}{\sqrt{1+18}}=1$

Örnek:

$\displaystyle \left( 2i-1 \right).z=i+\overline{z}.2$ eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı nedir?

Çözüm:

$\displaystyle z=x+iy$ olsun

$\displaystyle \overline{z}=x-iy$

$\displaystyle \left( 2i-1 \right).\left( x+iy \right)=i+\left( x-iy \right).2$

$\displaystyle 2ix+2{{i}^{2}}y-x-iy=i+2x-2iy$

$\displaystyle \left( -2y-x-2x \right)+i\left( 2x-y-1+2y \right)=0+i.0$

$\displaystyle 3x+2y=0$
$\displaystyle 2x+y=1$ denklemleri çözülürse,

x= 2 ve y= -3 olarak bulunur.
Buna göre, z= 2-3i dir.

Örnek:

$\displaystyle z=\frac{{{\left( 2+i \right)}^{4}}.{{\left( 2+3i \right)}^{2}}}{\left( 3-4i \right).{{\left( 2-3i \right)}^{2}}}$ olduğuna göre $\displaystyle \left| z \right|$ kaçtır?

Çözüm:

$\displaystyle \left| z \right|=\left| \frac{{{\left( 2+i \right)}^{4}}.{{\left( 2+3i \right)}^{2}}}{\left( 3-4i \right).{{\left( 2-3i \right)}^{2}}} \right|=\frac{{{\left| 2+i \right|}^{4}}.{{\left| 2+3i \right|}^{2}}}{\left| 3-4i \right|.{{\left| 2-3i \right|}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{4}}.{{\left( \sqrt{13} \right)}^{2}}}{5.{{\left( \sqrt{13} \right)}^{2}}}=5$

Örnek:

$\displaystyle z=\frac{1-a+ai+i}{ai-i-a-1}$ olduğuna göre, $\displaystyle \left| z \right|$ kaçtır?

Çözüm:

$\displaystyle \left| z \right|=\left| \frac{1-a+i.\left( a+1 \right)}{-\left( a+1 \right)+i.\left( a-1 \right)} \right|$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}}}=1$

Örnek:

$\displaystyle z\in \mathbb{C}$ olmak üzere,
$\displaystyle \left| z \right|-\overline{z}=8+12i$ olduğuna göre, z nin eşiti nedir?

Çözüm:

$\displaystyle z=x+yi$

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-\left( x-yi \right)=8+12i$

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x+yi=8+12i$

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x=8$
$\displaystyle y=12$

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+144}=x+8$

$\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+144={{x}^{2}}+16x+64$
$\displaystyle \Rightarrow 16x=80$
$\displaystyle x=5$

Buna göre z= 5+12i dir.

Örnek:

$\displaystyle z=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}.i}{1+i}$ karmaşık sayısının eşleniğinin sanal kısmı nedir?

Çözüm:

$\displaystyle z=\frac{\sqrt{2}\left( 1-i \right)}{1+i}=\frac{\sqrt{2}{{\left( 1-i \right)}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}.\left( -2i \right)}{2}=-i\sqrt{2}$