Karmaşık Sayılarda Eşlenik ve Modül (Mutlak Değer) Özellikleri Nelerdir?

0

Karmaşık sayılarda eşlenik ve modül (mutlak değer) özellikleri nelerdir? Maddeler halinde açıklaması ve örnek sorular ve çözümleri

Karmaşık Sayılarda Eşlenik ve Modül

Advertisement

Karmaşık Sayılarda Eşlenik ve Modül Özellikleri

\displaystyle z=a+ib ve \displaystyle {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C} olmak üzere,

  1. \displaystyle \overline{\left( z \right)}=z
  2. \displaystyle \overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}
  3. \displaystyle \overline{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}-\overline{{{z}_{2}}}
  4. \displaystyle \overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}
  5. \displaystyle \overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}},\left( {{z}_{2}}\ne 0 \right)
  6. \displaystyle z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}
  7. \displaystyle \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|
  8. \displaystyle \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|},\left( {{z}_{2}}\ne 0 \right)
  9. \displaystyle \overline{\left( {{z}^{n}} \right)}={{\overline{\left( z \right)}}^{n}}
  10. \displaystyle \left| {{z}^{n}} \right|={{\left| z \right|}^{n}}
  11. \displaystyle \left| z \right|=\left| \overline{z} \right|=\left| -z \right|=\left| -\overline{z} \right|
  12. \displaystyle \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| dir. (üçgen eşitsizliği)

Örnek:

  • \displaystyle z=\frac{-3\sqrt{2}+i}{1+3\sqrt{2i}} için, \displaystyle \left| z \right| ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

  • \displaystyle \left| z \right|=\left| \frac{-3\sqrt{2}+i}{1+3\sqrt{2i}} \right|=\left| \frac{-3\sqrt{2}+i}{1+3\sqrt{2i}} \right|
  • \displaystyle =\frac{\sqrt{{{\left( -3\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{18+1}}{\sqrt{1+18}}=1

Örnek:

  • \displaystyle \left( 2i-1 \right).z=i+\overline{z}.2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı nedir?

Çözüm:

Advertisement
  • \displaystyle z=x+iy olsun
  • \displaystyle \overline{z}=x-iy
  • \displaystyle \left( 2i-1 \right).\left( x+iy \right)=i+\left( x-iy \right).2
  • \displaystyle 2ix+2{{i}^{2}}y-x-iy=i+2x-2iy
  • \displaystyle \left( -2y-x-2x \right)+i\left( 2x-y-1+2y \right)=0+i.0
  • \displaystyle 3x+2y=0
    \displaystyle 2x+y=1 denklemleri çözülürse,
  • x= 2 ve y= -3 olarak bulunur.
    Buna göre, z= 2-3i dir.

Örnek:

  • \displaystyle z=\frac{{{\left( 2+i \right)}^{4}}.{{\left( 2+3i \right)}^{2}}}{\left( 3-4i \right).{{\left( 2-3i \right)}^{2}}} olduğuna göre \displaystyle \left| z \right| kaçtır?

Çözüm:

  • \displaystyle \left| z \right|=\left| \frac{{{\left( 2+i \right)}^{4}}.{{\left( 2+3i \right)}^{2}}}{\left( 3-4i \right).{{\left( 2-3i \right)}^{2}}} \right|=\frac{{{\left| 2+i \right|}^{4}}.{{\left| 2+3i \right|}^{2}}}{\left| 3-4i \right|.{{\left| 2-3i \right|}^{2}}}
  • \displaystyle =\frac{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{4}}.{{\left( \sqrt{13} \right)}^{2}}}{5.{{\left( \sqrt{13} \right)}^{2}}}=5

Örnek:

  • \displaystyle z=\frac{1-a+ai+i}{ai-i-a-1} olduğuna göre, \displaystyle \left| z \right| kaçtır?

Çözüm:

  • \displaystyle \left| z \right|=\left| \frac{1-a+i.\left( a+1 \right)}{-\left( a+1 \right)+i.\left( a-1 \right)} \right|
  • \displaystyle =\frac{\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}}}=1

Örnek:

\displaystyle z\in \mathbb{C} olmak üzere,
\displaystyle \left| z \right|-\overline{z}=8+12i olduğuna göre, z nin eşiti nedir?

Çözüm:

  • \displaystyle z=x+yi
  • \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-\left( x-yi \right)=8+12i
  • \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x+yi=8+12i
  • \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x=8
    \displaystyle y=12
  • \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+144}=x+8
  • \displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+144={{x}^{2}}+16x+64
    \displaystyle \Rightarrow 16x=80
    \displaystyle x=5
  • Buna göre z= 5+12i dir.

Örnek:

\displaystyle z=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}.i}{1+i} karmaşık sayısının eşleniğinin sanal kısmı nedir?

Advertisement

Çözüm:

  • \displaystyle z=\frac{\sqrt{2}\left( 1-i \right)}{1+i}=\frac{\sqrt{2}{{\left( 1-i \right)}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}.\left( -2i \right)}{2}=-i\sqrt{2}
  • \displaystyle z=-i\Rightarrow \overline{z}=i\sqrt{2}
    Buna göre, \displaystyle lm\left( \overline{z} \right)=\sqrt{2}


Leave A Reply