Köklü Sayıların Özellikleri Hesaplanması Özel Kökler Konu Anlatımı

Köklü sayı nedir? Köklü sayıların özellikleri nelerdir? Paydanın rasyonel yapılması, özel kökler ve özellikleri 9. sınıf konu anlatımı.

Köklü Sayılar Konu Anlatımı

KÖKLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI

n > 1 ve n ∈ N olmak üzere, $\displaystyle {{x}^{n}}=a$ denklemini sağlayan x sayısına a nın n. kuvvetten kökü denir.

$\displaystyle {{x}^{n}}=a$ ise
$\displaystyle x=\sqrt[n]{a}$ , n tek ise
$\displaystyle x=\pm \sqrt[n]{a},a\ge 0$ ve n çift ise
n = 2 ise $\displaystyle \sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$ olarak gösterilir.
$\displaystyle \sqrt[n]{{{a}^{n}}}=a$ , n tek ise
$\displaystyle \sqrt[n]{{{a}^{n}}}=\left| a \right|$ , n çift ise
$\displaystyle \sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\frac{m}{n}}}$
$\displaystyle {{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$
$\displaystyle \sqrt[n]{{{a}^{m}}}=\sqrt[n.k]{{{a}^{m.k}}},k\in {{Z}^{+}}$
$\displaystyle a.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{{{a}^{n}}.b}$ , (n çift sayı ise a>0 olmalıdır.)
$\displaystyle x.\sqrt[n]{a}\pm y.\sqrt[n]{a}=\left( x\pm y \right).\sqrt[n]{a}$
$\displaystyle \sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{x.y}$ , (n çift sayı ise $\displaystyle x,y\in {{R}^{+}}$ olmalıdır.)
$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}$ , (n çift sayı ise $\displaystyle x,y\in {{R}^{+}}$ olmalıdır.)

PAYDANIN RASYONEL YAPILMASI

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{{{x}^{m}}}}=\frac{\sqrt[n]{{{x}^{n-m}}}}{x},\frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{x\sqrt{y}}{y}$

ÖZEL KÖKLER

$\displaystyle \sqrt{x+2\sqrt{y}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\displaystyle (x=a+b,y=a.b)$
$\displaystyle \sqrt{x-2\sqrt{y}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$
$\displaystyle (x=a+b,y=a.b)$
$\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n.m]{x}$
$\displaystyle \sqrt[n]{x\sqrt[m]{y}\sqrt[p]{z}}=\sqrt[n.m.p]{{{x}^{m.p}}.{{y}^{p}}.z}$
$\displaystyle \sqrt[n]{x\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x...}}=\sqrt[n-1]{x}$
$\displaystyle \sqrt[n]{x:\sqrt[n]{x}:\sqrt[n]{x:...}}=\sqrt[n+1]{x}$
$\displaystyle \sqrt{x.\left( x+1 \right)+\sqrt{x.\left( x+1 \right)+\sqrt{x.\left( x+1 \right)+...}}}=x+1$
$\displaystyle \sqrt{x.\left( x+1 \right)-\sqrt{x.\left( x+1 \right)-\sqrt{x.\left( x+1 \right)-...}}}=x$
$\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}=\frac{\sqrt{4x+1}+1}{2}$
$\displaystyle \sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}=\frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}$

Köklü Sayıların Özellikleri

Tanım:

n ∈ Z⁺ olmak üzere bⁿ=a eşitliğini sağlayan b sayısına a nın n inci kuvvetten kökü denir.

i) n tek ise $b=\sqrt[n]{a}$
ii) a ≥ 0 ve n çift ise $b\pm \sqrt[n]{a}$

Özellikleri:

1) $\sqrt[m]{a}={{a}^{\frac{1}{m}}}$ $(m\in {{N}^{+}},m\ge 2)$
2) $\sqrt[m]{{{a}^{n}}}={{a}^{\frac{n}{m}}}$
3) $\sqrt[m]{a}.\sqrt[m]{b}.\sqrt[m]{c}=\sqrt[m]{a.b.c}$
4) $\sqrt[m]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}$
5) a<0 ve n çift ise $\sqrt[n]{a}\notin R$

Örnek:

$\sqrt{-9}=\sqrt{-{{1.3}^{2}}}=3\sqrt{-1}$ bir reel sayı değildir.

6) a<0 ve n çift ise $\sqrt[n]{a}\in R'dir.$

Örnek:

$\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{(-4)}^{3}}}=(-4)$

7) $m.\sqrt{a}+n.\sqrt{a}-p\sqrt{a}$
= $\sqrt{a}.(m+n-p)$
8) $\sqrt[m]{{{a}^{n}}}=\sqrt[m.t]{{{a}^{n.t}}}$ (t≠0)
9) $\sqrt[m]{{{a}^{n}}}=\sqrt[{}^{m}\!\!\diagup\!\!{}_{t}\;]{{{a}^{\frac{n}{t}}}}$ (t≠0)
10) $\sqrt[m]{a}.\sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{{{a}^{n}}}.\sqrt[mn]{{{a}^{m}}}=\sqrt[mn]{{{a}^{n}}.{{a}^{m}}}=\sqrt[mn]{{{a}^{m+n}}}$

Örnek:

$\begin{array}{l}\sqrt[5]{{{a}^{2}}}.\sqrt[4]{{{a}^{3}}}=\sqrt[5.4]{{{a}^{2.4}}}.\sqrt[5.4]{{{a}^{3.5}}}\\=\sqrt[5.4]{{{a}^{8}}.{{a}^{15}}}\\=\sqrt[20]{{{a}^{23}}}\end{array}$

11) ${{(\sqrt[m]{a})}^{p}}=\sqrt[m]{{{a}^{p}}}={{a}^{\frac{p}{m}}}$
12) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}}=\sqrt[m.n.p]{a}$
13) $a.\sqrt[m]{b}=\sqrt[m]{{{a}^{m}}.b}$
14) $\sqrt[m]{{{a}^{mp+n}}}=\sqrt[m]{{{a}^{mp}}.{{a}^{n}}}={{a}^{p}}.\sqrt[m]{{{a}^{n}}}$
15) $\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a...}}}=\sqrt[n-1]{a}$