Pi Teoremi Nedir?

Pi teoremi nedir? Amerikalı fizikçi Edgar Buckingham tarafından ortaya atılmış bir teorem olan pi teoremi ile ilgili temel bilgiler.

Pi teoremi

Pi teoremi nedir?

Pi teoremi, ABD’li fizikçi Edgar Buckingham’ın 1914’te ortaya koyduğu boyut çözümlemesi yöntemindeki temel tekniklerden biri. Bu teoreme göre, bir $\displaystyle {{A}_{1}}$ değişkeni $\displaystyle {{A}_{2}}$ , $\displaystyle {{A}_{3}}$ ,….., $\displaystyle {{A}_{n}}$ bağımsız değişkenlerine bağımlı ise, bu fonksiyonel ilişki, f ( $\displaystyle {{A}_{1}}$ , $\displaystyle {{A}_{2}}$ , $\displaystyle {{A}_{3}}$ ,…, $\displaystyle {{A}_{n}}$ ) = 0 biçiminde ifade edilebilir. Bu n tane değişken, m boyutsal birim cinsinden belirtilebiliyorsa, pi (π) teoremi uyarınca, bu değişkenler n-m boyutsuz terim olarak gruplanabilir (bunlara π terimleri denir); yani i $\displaystyle \varphi ({{\pi }_{1}},{{\pi }_{2}},{{\pi }_{3}},....,{{\pi }_{{n-m}}})=0$ . Her π terimi m+1 değişken içerir ve terimden terime bunlardan yalnızca bir tanesinin değiştirilmesi yeterlidir.

Pi teoreminin uygulanması akışkanlar mekaniğinden bir örnekle açıklanabilir. Akışkan hareketinin özelliklerini ve çeşitli değişkenlerin etkisini incelemek amacıyla önemli değişkenleri üç grupta toplamak olanaklıdır: Kanalın geometrisini ve öteki sınır koşullarını belirleyen dört doğrusal boyut; akışın kinematik ve dinamik özelliklerini belirleyen akışkan akış hızı ve basınç gradyanı; akışkana ilişkin beş özellik (yoğunluk, özgül ağırlık, ağdalılık, yüzey gerilimi ve esneklik katsayısı). Toplam sayısı 11 (n) olan bu değişkenler üç (m) boyut cinsinden ifade edilebilir; bu nedenle sekiz (n-m) adet π terimini içeren bir fonksiyonel bağıntı yazılabilir.

Bu problemi, π terimlerinin üslerini, her terimi boyutsuz kılacak, bir başka deyişle $\displaystyle {{\pi }_{i}}={{U}^{o}}{{K}^{o}}{{Z}^{o}}$ yapacak biçimde belirlemek üzere bir denklem takımının çözümüne indirgemek olanaklıdır; burada $\displaystyle {{U}^{o}}{{K}^{o}}{{Z}^{o}}$ , her değişkenin ifade edildiği üç temel birim olan uzunluk, kütle ve zamanın boyutsuz bir kombinezonunu göstermektedir.

Buradan şu ilginç sonuca ulaşılmaktadır: $\displaystyle E=k\varphi (a,b,c,F,R,W,C)$ .Bu eşitlikte E akışın temel niteliğini belirleyen Euler sayısı, k bir sabittir; $\displaystyle \varphi$ ise E ile a,b,c(a,b,c) sınır özelliklerini belirleyen parametrelerdir ve F,R,W,C arasındaki fonksiyonel ilişkiyi ifade eder. F,R,W ve C sayıları akışkan akışının, sırasıyla, ağırlık, ağdalık, yzey gerilimi ve esnekliğe bağımlılığını belirleyen Froude, Reynolds, Weber ve Cauchy sayılarıdır.