Rasyonel Sayılarda Birleşme Özelliği Nedir? Örnekli Konu Anlatımı

0

Rasyonel sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde birleşme özellikleri var mıdır? Birleşme özelliğinin örneklerle açıklaması.

RASYONEL SAYILAR

  • ***a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere \displaystyle \frac{a}{b} biçiminde yazılan sayılara rasyonel sayı denir ve rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
  • \displaystyle Q=\left\{ \frac{a}{b}:a,b\in Z,b\ne 0 \right\}
  • *** \displaystyle \frac{a}{b} rasyonel sayısında a ya pay, b ye payda denir.
  • *** \displaystyle b\ne 0 için \displaystyle \frac{0}{b}=0 dır.
  • *** \displaystyle b\ne 0 için \displaystyle \frac{b}{0} tanımsızdır.
  • *** \displaystyle \frac{0}{0} belirsizdir.

Kesir

a, b ∈ N ve b ≠ O olmak üzere rasyonel sayısına kesir denir.

Advertisement

Basit Kesir

  • Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
  • \displaystyle \frac{3}{5},\frac{1}{2},0,.... gibi sayılar birer basit kesirdir.

Bileşik Kesir

  • Payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.
  • \displaystyle \frac{5}{3},\frac{7}{6},2,1,.... gibi sayılar birer bileşik kesirdir.
  • *** a, b, c ∈ N ve c≠0 ise
  • \displaystyle a+\frac{b}{c}=a\frac{b}{c} kesrine tam sayılı kesir denir.

Rasyonel Sayılarda Birleşme Özelliği

Üç adet rasyonel sayıyı örnek olarak ele alıp birleşme özelliğini inceleyelim.

Örnek olarak -3/4, 2/3 and 2 1/2 kesirlerini ele alalım;

Toplama İşleminde

\displaystyle \frac{-3}{4}+\left( \frac{2}{3}+2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}+\left( \frac{4}{6}+2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}+2\frac{7}{6}=\frac{-9}{12}+2\frac{14}{12}=2\frac{5}{12}

=

\displaystyle \left( \frac{-3}{4}+\frac{2}{3} \right)+2\frac{1}{2}=\left( \frac{-9}{12}+\frac{8}{12} \right)+2\frac{1}{2}=\frac{-1}{12}+2\frac{1}{2}=\frac{-1}{12}+2\frac{6}{12}=2\frac{5}{12}

Advertisement

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}+\left( \frac{c}{d}+\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right)+\frac{e}{f}

Rasyonel sayılarda toplama işleminde birleşme özelliği mevcuttur.

Çıkarma İşleminde;

\displaystyle \frac{-3}{4}-\left( \frac{2}{3}-2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}-\left( \frac{4}{6}-2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}-\left( \frac{4}{6}+-1\frac{9}{6} \right)=\frac{-3}{4}-\left( -1\frac{5}{6} \right)=\frac{-9}{12}+\left( +1\frac{10}{12} \right)=1\frac{1}{12}

\displaystyle \left( \frac{-3}{4}-\frac{2}{3} \right)-2\frac{1}{2}=\left( \frac{-9}{12}+\frac{-8}{12} \right)-2\frac{1}{2}=\frac{-17}{12}-2\frac{1}{2}=-1\frac{-5}{12}-2\frac{6}{12}=-3\frac{11}{12}

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİT DEĞİLDİR.

Advertisement

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise;

\displaystyle \frac{a}{b}-\left( \frac{c}{d}-\frac{e}{f} \right)\ne \left( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} \right)-\frac{e}{f}

Rasyonel sayılarda çıkarma işleminde birleşme özelliği yoktur.
Çarpma İşleminde;

\displaystyle \frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x\frac{5}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\frac{5}{3}=\frac{-5}{4}=-1\frac{1}{4}

=

\displaystyle \left( \frac{-3}{4}x\frac{2}{3} \right)x2\frac{1}{2}=\left( \frac{-1}{2}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{2}x\frac{5}{2}=\frac{-5}{4}=-1\frac{1}{4}

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise;

\displaystyle \frac{a}{b}x\left( \frac{c}{d}x\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}x\frac{c}{d} \right)x\frac{e}{f}

Rasyonel sayılarda çarpma işleminde birleşme özelliği mevcuttur.
Bölme İşleminde

\displaystyle \frac{-3}{4}\div \left( \frac{2}{3}\div 2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}\div \left( \frac{2}{3}x\frac{2}{5} \right)=\frac{-3}{4}\div \frac{4}{15}=\frac{-3}{4}x\frac{15}{4}=-\frac{45}{16}=-2\frac{13}{16}

\displaystyle \left( \frac{-3}{4}\div \frac{2}{3} \right)\div 2\frac{1}{2}=\left( \frac{-3}{4}x\frac{3}{2} \right)\div 2\frac{1}{2}=\frac{-9}{8}\div 2\frac{2}{5}=\frac{-9}{8}x\frac{2}{5}=-\frac{9}{20}

SONUÇLAR EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}\div \left( \frac{c}{d}\div \frac{e}{f} \right)\ne \left( \frac{a}{b}\div \frac{c}{d} \right)\div \frac{e}{f}

Advertisement
  • Rasyonel sayılarda bölme işleminde birleşme özelliği yoktur.
  • Rasyonel sayılarda toplama ve çarpma işleminde birleşme özelliği mevcutken çıkarma ve bölme işlemlerinde birleşme özelliği yoktur.


Leave A Reply