Uzayda Bir Noktadan Geçen Doğrunun Özellikleri, Denklemi ve Hesaplaması

0
Advertisement

12. sınıf geometri konusu, uzayda bir noktadan geçen ve doğrultmanı bilinen bir doğrunun denklemi nedir, nasıl hesaplanır, örnek sorular.

Uzayda Bir Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi

Uzayda Bir Noktadan Geçen ve Doğrultmanı Bilinen Doğru

Uzayda bir noktadan geçen doğru, belirli bir noktadan geçen ve o noktada bir yön vektörü olan doğrudur. Bu doğru, uzaydaki herhangi bir nokta için geçerli olan denklemleri ifade edebilir.

Bir uzay noktasından geçen doğrunun denklemi, noktanın koordinatları ve doğrunun yön vektörü kullanılarak ifade edilebilir. Örneğin, xOy düzleminde (1,2) noktasından geçen ve yönü (2,3) olan doğrunun denklemi şu şekildedir:

x = 1 + 2t y = 2 + 3t

Burada t herhangi bir gerçek sayı olabilir ve x ve y, doğrunun herhangi bir noktasının koordinatlarını ifade eder.

Advertisement

Uzayda bir noktadan geçen doğru, parametrik veya orijinal formda ifade edilebilir. Parametrik formda, doğrunun herhangi bir noktasının koordinatları t ile ifade edilirken, orijinal formda doğru denkleminde doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları sabit olarak verilir ve parametre kullanılmaz.

Denklemi

Uzayda,
\displaystyle P({{x}_{o}},{{y}_{o}},{{z}_{o}}) noktasından geçen ve doğrultmanı u = (a, b, c) olan d doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta A(x, y, z) olsun.

Uzayda Bir Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi

Buna göre,
d doğrusunun vektörel denklemi, k ∈ R için

\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}+k.\overrightarrow{u}  olur.

\displaystyle \overrightarrow{OA}=(x,y,z)

Advertisement

\displaystyle \overrightarrow{OP}=({{x}_{o}},{{y}_{o}},{{z}_{o}}) ve

\displaystyle \overrightarrow{u}=(a,b,c) olduğundan,

\displaystyle \left( x,y,z \right)=\left( {{x}_{o}},{{y}_{o}},{{z}_{o}} \right)+k.(a,b,c)

doğrunun vektörel denklemidir.

Vektörel denklemdeki x, y, z bileşenlerini ayrı ayrı yazarsak,

d doğrusunun parametrik denklemi, k ∈ R için

\displaystyle x={{x}_{o}}+k.a

\displaystyle y={{y}_{o}}+k.b

\displaystyle z={{z}_{o}}+k.c olur.

Örnek:

P(5,3,4) noktasından geçen ve u = (1, 3,2) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel ve parametrik denklemlemini bulalım.

Çözüm

Advertisement

u = (1, 3, 2) doğrunun doğrultman vektörüdür. Doğru üzerindeki bir nokta A(x, y, z) olmak üzere, doğrunun vektörel denklemi,

\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}+k.\overrightarrow{u}

(x, y, z) = (5, 3, 4) + k . (1, 3, 2) olur. (k ∈ R)

Bu doğrunun parametrik denklemi,

x = 5 + k

y = 3 + 3k

z = 4 + 2k bulunur.

Örnek 2

Analitik uzayda, vektörel denklemi

(x, y, z) = (-2, 5, 1) + k . (3, -2, 4) (k ∈ R)

olan doğrunun parametrik denklemini bulalım.

Çözüm

Advertisement

Vektörel denklemi yukarıda verilen doğrunun parametrik denklemi,

x = -2 + 3k

y = 5 – 2k

z = 1 + 4k bulunur.


Leave A Reply