Doğal sayılar nelerdir? Doğal sayılar nerelerde kullanılır, önemi nedir? Doğal sayıların hayatımızdaki yeri hakkında bilgi.
Tamsayılar, yüzyıllar boyu gitgide zenginleşen bir takım ‘in en basit öğeleridir. 1, 2, 3,…, 10….. 1 000, vb’nin tamsayılar olduğunu herkes bilir. Biçimsel mantık ve kümeler kuramı çerçevesinde tamsayının kesin ama nazik bir tanımı yapılabilmekle birlikte, okurun bu konuda, değişmez bir deneyimden doğan sezgisel bir düşüncesi olduğunu da doğal olarak varsaymamız gerekir. Sonsuz sayıda tamsayının bulunduğu görüşü, günümüzde herkes tarafından benimsendiği halde uygulamada tamsayıların ancak çok küçük bir bölümü kullanılır. Bazı gelişmiş hayvanların da sayı kavramı vardır, ancak bu, birkaç birimle sınırlıdır. Sözgelimi, bazı gelişmiş hayvanların “aritmetik sistemi” bir, iki ve “çok” kavramlarını içerir; bu da zaten onlar için aşağı yukarı yeterlidir (bir kedi doğurduğunda, kendisine iki yavru bırakılırsa, öteki yavrularının alındığını fark etmez). İnsan ise olağanüstü “ondalık saydama” sistemiyle sonsuza dek uzanabilir. Karışık bir mekanizma sayesinde, rakam adı verilen sonlu sayıda tipografik simgeler aracılığıyla tamsayıların tümü gösterilebilir. Bu mekanizmanın esnekliği romen rakamlarıyla bir tek çarpım yapmak istendiğinde açıkça görülür (örnek: MCCCXXXI x XLVIII). Klasik tamsayılara özel bir sayı eklemek gerekmiştir: Bu, önce boş bir kümenin öğelerinin sayılması için düşünülen ve bir rakam değil de bir sayı olan sıfır’dır. 0, doğal sayıların N ile gösterilen kümesinin birinci öğesidir:
N = (0,1,2,3,……}.
N, önce sayal olarak, yani sonlu kümeleri saymak için kullanılmıştır. Kümenin öğeleri, sayılmak üzere sıralanmak istenirse, kümenin birinci, ikinci, üçüncü öğeleri birbirinden ayırt edilerek, N sıra belirtecek bir biçimde kullanılabilir.
Bununla birlikte, tamsayıların uygulamadaki gücü, çok geçmeden bu sayılar üstünde gerçekleştirilen işlemlerde (özellikle toplama ve çarpma) yatar. Çok basit olan bu aşamada bile ilgi çekici teoremleri birbirinden ayırt edebiliriz: Sözgelimi, 2,3 ve 7 gibi üç tamsayının toplamının hesaplanmasında, işlemin herhangi bir sırada yapılmasının önem taşımadığı hiç de kesin değildir. Gerçekten de, parantezlerin yapılacak toplamalar sırasındaki önceliği belirttiği (2 + 3) + 7, (3 + 2 ) +7, (2+ 7)+3, (7+ 2)+ 3, (3 + 7) + 2, (7 + 3) + 2 simgelerinin hepsi, aynı 12 tamsayısını belirtir. Böyle bir sayısal örnekte, sabırlı bir doğrulama işlemi yeterlidir, ama burada son derece önemli olan şey, kuralın genel olmasıdır (bu kural, çarpma işlemi için de geçerlidir). En temel olan aritmetik düzeyinde bile, ortaya atılan problemlerin dolaylı işlemlerle çözümlendiği bilinir. Sözgelimi, 3’ün kübü (yani 33 = 3x3x3) olan 27 sayısının,bir karenin (25 = 5×5) 2 fazlasına eşit olduğunu herkes bilir: 33 = 52 + 2. Bütün n tamsayılarının düzenli bir biçimde araştırılması (n2 + 2’nin bir kübe [m3] eşit olup olmadığının araştırılması) olanaksızdır, çünkü ancak sınırlı sayıda deneme gerçekleştirilebilir. Sözgelimi, sabırlı bir çalışma sonucu araştırmalar bine dek sürdürülürse (1 0003’te on rakam vardır) n = 5’in sorunumuzu yanıtlayan tek tamsayı olduğu ortaya çıkar ama çok daha büyük olan bir başkasının bulunmadığını da hiçbir şey ispatlamaz.
N kümesinde her zaman başarıyla izlenemeyen iki işlem vardır 1. a = b + x gibi bir x sayısının araştırılması olan x = a-b çıkarma işlemi; 2. c = d . y gibi bir y sayısının araştırılması olan y = c:d kesin bölme işlemi. Toplama ile çarpmanın bir tür tersi olan bu işlemler,bizim işaretleme sistemimizle ancak a.b’den çok büyük olursa ve c de d’nin bir katı ise olanaklıdır. Sözgelimi (2-5) ve (9:4) simgelerinin, yalnızca pozitif (artı) tamsayılar içeren N içinde hiçbir anlamları yoktur.
