Düzgün Piramidin Alanı Hesaplanması

0

By gurur on 18 Şubat 2018 Bilgi Dünyası

Advertisement

Düzgün piramidin alanı nasıl hesaplanır? Düzgün piramidin alan formülü, örnek soruların çözümü, alan hesaplaması.

Düzgün Piramidin Alanı

Piramidin alanı, taban alanı ile yanal alanının toplamına eşittir.

Piramidin taban alanını AT, yanal alanını AY ile gösterirsek,

piramidin tüm alanı, A = AT + AY olur.

Bir düzgün piramidin yanal alanı, taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Advertisement

Yukarıdaki şekilde bir düzgün kare piramit ve açınımı veriliyor.

Piramidin yan yüzlerinden birinin alanı,

$\displaystyle \frac{a.h}{2}$ olduğundan, yanal alan $\displaystyle \frac{4.a.h}{2}$ olur.

Yani yanal alan, taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Örnek:

Yukarıdaki (P, ABCD) kare dik piramitte, yan yüzler eşkenar üçgendir.

Advertisement

|AB| = 4 cm olduğuna göre,

a. piramidin alanını bulalım.

b. DPB açısının ölçüsünü bulalım.

Çözüm

a. Piramidin yan yüzleri eşkenar üçgen olduğundan,

yan yüz yüksekliği, $\displaystyle \left| PE \right|=2\sqrt{3}$ olur.

Taban çevresi, 4 * 4 = 16 cm olduğundan,

yanal alanı = $\displaystyle \frac{16.2\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}c{{m}^{2}}$ olur.

Taban alanı, 4 * 4 = 16 cm2 olduğundan,

piramidin alanı = $\displaystyle 16+16\sqrt{3}c{{m}^{2}}$ olur.

Advertisement

b. Şekilde,

|AB| = |BC| = |PB| = |PA| = |PC| = |PD| = 4 cm olduğundan,

[BD] köşegeni çizilirse, $\displaystyle \left| BD \right|=4\sqrt{2}cm$ olur.

PDB üçgeninin kenar uzunlukları $\displaystyle \left( 4,4,4\sqrt{2} \right)$ olduğundan

m (DPB) = 90° olarak bulunur.

Örnek:

(P ABCD) kare dik piramit
| PF | =5 cm
| FA | =5 cm
A(ABCD) = 128 cm2

Yukarıdaki verilere göre, |FC| uzunluğunu bulalım.

Çözüm

Advertisement

Piramidin taban alanı,

$\displaystyle A\left( ABCD \right)={{\left| AB \right|}^{2}}=128\Rightarrow \left| AB \right|=8\sqrt{2}cm$ olur.

Piramidin taban köşegenlerini ve yüksekliğini çizersek,

| AK| = | KC | = |KB| = 8 cm olur.

PKA (6-8-10) dik üçgeninde |PK| = 6 cm olur.

F noktasından tabana dik çizersek,

|AL| = |LK| = 4 cm olur.

|FL|, PAK dik üçgeninin orta tabanı olduğundan,

|FL| = 3 cm olur.

FLC dik üçgeninde pisagor bağıntısından

$\displaystyle {{\left| FC \right|}^{2}}={{\left| FL \right|}^{2}}+{{\left| LC \right|}^{2}}$

Advertisement

$\displaystyle {{\left| FC \right|}^{2}}={{3}^{2}}+{{\left( 4+8 \right)}^{2}}=9+144$

$\displaystyle {{\left| FC \right|}^{2}}=153$

$\displaystyle \left| FC \right|=3\sqrt{17}cm$ bulunur.

Leave A Reply Cancel Reply