Modüler Aritmetik Konu Anlatımı ve Örnekler

Modüler aritmetik konusu özellikleri, konu anlatımı, örnekler, çözümlü sorular, açıklamalar.

MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m ∈ Z olmak üzere, a – b sayısı m sayısına tam olarak bölünebiliyorsa a ve b tam sayıları modül m ye göre denktir denir ve

a ≡ b (mod m)

biçiminde gösterilir.

a ≡ b (mod m) ⇔ m | (a – b) dir.

Kalan Sınıfların Kümesi

0 ≤ b < m ve k ∈ Z için

a ≡ b (mod m) ⇔ a – b = m.k

⇔ a = m.k + b

Tamsayıların m ile bölümünden kalanlar kümesi (0,1, 2,…, m – 1} dir. Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa, o kalana denktir. Bu kalanların her birine, belirlediği denklik sınıfının temsilcisi denir. Bu denklik sınıfları

$\displaystyle \overline{0},\overline{1},\overline{2},.....,\overline{m-1}$

şeklinde gösterilir. Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir.

$\displaystyle Z/m=\left\{ \overline{0},\overline{1},\overline{2},.....,\overline{m-1} \right\}$

***a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise

1. a ± c ≡ b ± d (mod m)

2. a.c ≡ b.d (mod m)

3. a + k ≡ b + k (mod m) , (k ∈ Z)

4. a.k ≡ b.k (mod m) , (k ∈ Z)

5. $\displaystyle {{a}^{n}}\equiv {{b}^{n}}(\bmod m),(n\in {{Z}^{+}})$

***m x , m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı ise $\displaystyle {{x}^{m-1}}\equiv 1\left( \bmod m \right)$ dir. Fakat x in m – 1 den daha küçük kuvvetleri için de denklik 1 e eşit olabilir.

ÖRNEK:

x ≡ 4 (mod 5) debkliğini sağlayan en küçük iki doğal sayının toplamı kaçtır?

(mod 5) te 4 ün denklik sınıfları,

$\displaystyle \overline{4}=\left\{ ....,-6,-1,4,9,14,19,.... \right\}$ tir.

Bu kümedeki en küçük iki doğal sayının toplamı, 4+9=13 tür.

ÖRNEK:

$\displaystyle {{3}^{19}}$ sayısının 5 e bölümünden kalan kaçtır?

$\displaystyle {{3}^{1}}\equiv 3(\bmod 5)$
$\displaystyle {{3}^{2}}\equiv 4(\bmod 5)$
$\displaystyle {{3}^{3}}\equiv 2(\bmod 5)$
$\displaystyle {{3}^{4}}\equiv 1(\bmod 5)$
$\displaystyle {{3}^{4.4}}\equiv {{1}^{4}}(\bmod 5)\Rightarrow {{3}^{16}}\equiv 1(\bmod 5)$
$\displaystyle {{3}^{16}}{{.3}^{3}}\equiv {{3}^{19}}\equiv 2(\bmod 5)$ olur.