Parabolik Denklem Ne Demek?

0
Advertisement

Parabolik denklem ne demektir? Parabolik denklemin tanımı ve parabolik denklem ile ilgili tanımlamaların yanı sıra denklemlerinde yer aldığı sayfamız.

Parabolik Denklem Ne Demek?

Parabolik denklem, yayınım olgusunun, örneğin bir levhanın ısınmasının matematiksel çözümlemesinde karşılaşılan kısmi diferansiyel denklemler sınıfı. En yalın bir boyutlu parabolik denklem, ince bir çubuğun çeşitli noktalarındaki sıcaklığın zamana göre değişimini belirleyen \displaystyle {{u}_{{xx}}}={{u}_{t}}, denklemidir. Burada \displaystyle {{u}_{t}}, t ve x değişkenlerinin fonksiyonu olan u değişkeninin t değişkenine (zaman) göre kısmi türevi, \displaystyle {{u}_{{xx}}} ise x değişkenine (baş noktadan uzaklık) göre ikinci basamaktan kısmi türevidir.
parabol
Bu yalın denklemin çözümleri bile oldukça karmaşıktır; genel olarak bu çözümler denklemin temel çözümü olarak adlandırılan \displaystyle {{e}^{{(-{{x}^{2}}/4t)/\sqrt{t}}}} üstel fonksiyonu cinsinden ifade edilir. Bu türden bir problemin tam çözümünün belirlenebilmesi için çubuk boyunca başlangıç sıcaklık dağılımının ve çubuğun iki ucundaki sıcaklığın nasıl değiştiğinin de bilinmesi gerekir. Bu ek koşullara başlangıç değerleri ve sınır değerleri denir.

Benzer iki ve üç boyutlu problemlerde bölgenin tümündeki başlangıç sıcaklık dağılımı ile bölgenin sınırı boyunca sıcaklığın zaman içindeki değişimi bilinmelidir. En yalın iki boyutlu parabolik denklem \displaystyle {{u}_{{xx}}}+{{u}_{{yy}}} biçiminde, üç boyutlu denklem ise \displaystyle {{u}_{{xx}}}+{{u}_{{yy}}}+{{u}_{{zz}}}=t biçimindedir. Bu denklemler ancak tümüyle düzgün (bölgenin her yerinde aynı) özellikli ortamlar için geçerlidir; düzgün olmayan ortamlara ya da başka tür yayınım olgularına ilişkin denklemler daha karmaşıktır. Bu denklemler, eğer verili bölge içinde farklı bir koordinat sistemi kullanılarak yukarıda belirtilen yalın biçimde yazılabiliyorsa, gene parabolik denklem olarak adlandırılır. Örneğin, bir boyutlu ama daha yüksek basamaktan türevli \displaystyle a{{u}_{{xx}}}+b{{u}_{{xt}}}+c{{u}_{{tt}}} terimlerini içeren bir denkleme, b²-4ac=0 koşulu sağlanıyorsa, böyle bir dönüşüm uygulanabilir. Eğer a, b, c katsayıları x değişkeninin aldığı değerlere bağlıysa, bu durumda denklem, her noktasında \displaystyle {{b}^{{^{2}}}}-4ac=0 koşulunun sağlandığı bir bölge için paraboliktir.


Bir Yorum Yazmak İster misiniz?