Rasyonel Sayılarda Değişme, Kapalılık ve Dağılma Özelliği, Örnekler

0
Advertisement

Rasyonel sayılarda değişme, kapalılık ve dağılma özelliği nedir? Rasyonel sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerindeki özellikler örnekler.

Rasyonel Sayılarda Değişme Özelliği

İki adet rasyonel sayı alır ve dört işlem için değişme özelliğini incelersek;

Örnek olarak alacağımız kesirler: -3/7 ve 2 1/2

Toplama İşleminde;

\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)+2\frac{1}{2}=\left( \frac{-6}{14} \right)+2\frac{7}{14}=2\frac{1}{14}

=

\displaystyle 2\frac{1}{2}+\left( \frac{-3}{7} \right)=2\frac{7}{14}+\left( \frac{-6}{14} \right)=2\frac{1}{14}

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Advertisement

Genel olarak eğer a/b, c/d ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}

Rasyonel sayılarda toplama işleminde değişme özelliği mevcuttur.

Çıkarma İşleminde;

\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)-2\frac{1}{2}=\frac{-6}{14}-2\frac{7}{14}=\frac{-6}{14}+\left( -2\frac{7}{14} \right)=-2\frac{13}{14}

\displaystyle 2\frac{1}{2}-\left( \frac{-3}{7} \right)=2\frac{7}{14}-\left( \frac{-6}{14} \right)=2\frac{7}{14}+\frac{6}{14}=2\frac{13}{14}

SONUÇLAR EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer if a/b, c/d ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}\ne \frac{c}{d}-\frac{a}{b}

Advertisement

Rasyonel sayılarda çıkarma işleminde değişme özelliği yoktur

Çarpma İşleminde;

\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)x2\frac{1}{2}=\frac{-3}{7}x\frac{5}{2}=\frac{-3x5}{7x2}=\frac{-15}{14}=-1\frac{1}{14}

=

\displaystyle 2\frac{1}{2}x\left( \frac{-3}{7} \right)=\frac{5}{2}x\frac{-3}{7}=\frac{5x\left( -3 \right)}{2x7}=\frac{-15}{14}=-1\frac{1}{14}

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}x\frac{c}{d}=\frac{c}{d}x\frac{a}{b}

Rasyonel sayılarda çarpma işleminde değişme özelliği mevcuttur.

Bölme İşleminde;

\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)\div 2\frac{1}{2}=\frac{-3}{7}\div \frac{5}{2}=\frac{-3}{7}x\frac{2}{5}=\frac{-6}{35}

\displaystyle 2\frac{1}{2}\div \left( \frac{-3}{7} \right)=\frac{5}{2}\div \left( \frac{-3}{7} \right)=\frac{5}{2}x\left( \frac{-7}{3} \right)=\frac{-35}{6}=-5\frac{5}{6}

SONUÇLAR EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}\div \frac{c}{d}\ne \frac{c}{d}\div \frac{a}{b}

  • Rasyonel sayılarda bölme işleminde değişme özelliği yoktur.
  • Rasyonel sayılar toplama ve çarpma işlemlerinde değişme özelliğine sahipken, çıkarma ve bölme işlemlerinde değişme özelliğine sahip değillerdir.

Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

Rasyonel sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedeki dört işlemde kapalılık özelliği mevcuttur. İki rasyonel sayının toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi sonucunda yine rasyonel bir sayı elde edilir.

Advertisement

İki örnek kesir alarak 4 işlemi ve kapalılık özelliğini inceleyelim.

Örnek kesirlerimiz; 3/4 ve -5/7

  • \displaystyle \frac{3}{4}+\left( \frac{-5}{7} \right)=\frac{21}{28}+\frac{-20}{28}=\frac{21+\left( -20 \right)}{28}=\frac{1}{28}\in Q
  • \displaystyle \frac{3}{4}-\left( \frac{-5}{7} \right)=\frac{21}{28}+\frac{+20}{28}=\frac{21+20}{28}=\frac{41}{28}\in Q
  • \displaystyle \frac{3}{4}x\left( \frac{-5}{7} \right)=\frac{3x\left( -5 \right)}{4x7}=\frac{-15}{28}\in Q
  • \displaystyle \frac{3}{4}\div \left( \frac{-5}{7} \right)=\frac{3}{4}x\left( \frac{-7}{5} \right)=\frac{3x\left( -7 \right)}{4x5}=\frac{-21}{20}\in Q

Genel olarak; eğer a/b, c/d ∈ Q ve a/b, c/d ≠ 0 ise; \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}\in Q

  • \displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}\in Q
  • \displaystyle \frac{a}{b}x\frac{c}{d}=\frac{axc}{bxd}=\frac{ac}{bd}\in Q
  • \displaystyle \frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a}{b}x\frac{d}{c}=\frac{axd}{bxc}=\frac{ad}{bc}\in Q

Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde kapalılık özelliğine sahiptir. (0 sayısı hariç).

Rasyonel Sayılarda Dağılma Özelliği;

Dağılma özelliği için iki adet işlem gerekli. İnceleyeceklerimiz;

  • (a) Çarpmanın toplama üzerinde dağılma özelliği
  • (b) Çıkarmanın çıkarma üzerinde dağılma özelliği

Örnek için üç adet kesir ele alırsa; -3/4, 2/3 ve 2 1/2

Çarpmanın Toplama Üzerinde Dağılma Özelliği

\displaystyle \frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{4}{6}x2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}x2\frac{7}{6}=\frac{-3}{4}x\frac{19}{6}=\frac{-19}{8}=-2\frac{3}{8}

=

\displaystyle \left( \frac{-3}{4}x\frac{2}{3} \right)+\left( \frac{-3}{4}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{2}+\left( \frac{-3}{4}x\frac{5}{2} \right)=\frac{-1}{2}+\left( \frac{-15}{8} \right)=\frac{-4}{8}+\frac{-15}{8}=\frac{-19}{8}=-2\frac{3}{8}

SONUÇLAR BİRBİRİNE EŞİTTİR.

Örnekte görüldüğü gibi çarpma işlemini soldan sağa yada sağdan sola doğru toplama işlemi üzerinde dağıtırsak sonuçlar aynı olur.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}x\left( \frac{c}{d}+\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}x\frac{c}{d} \right)+\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)

Advertisement

ve

\displaystyle \left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right)x\frac{e}{f}=\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)+\left( \frac{c}{d}x\frac{e}{f} \right)

Rasyonel sayılarda çarpmanın toplama üzerinde dağılma özelliği vardır

Çarpmanın Çıkarma Üzerinde Dağılma Özelliği

\displaystyle \frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}-2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{4}{6}+-2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{4}{6}+-1\frac{9}{6} \right)=\frac{-3}{4}x-1\frac{5}{6}=\frac{-3}{4}x\frac{-11}{6}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}

=

\displaystyle \left( \frac{-3}{4}x\frac{2}{3} \right)-\left( \frac{-3}{4}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{2}-\left( \frac{-3}{4}x\frac{5}{2} \right)=\frac{-1}{2}-\left( \frac{-15}{8} \right)=\frac{-1}{2}+1\frac{7}{8}=\frac{-4}{8}+1\frac{7}{8}=1\frac{3}{8}

SONUÇLAR BİRBİRİ İLE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; \displaystyle \frac{a}{b}x\left( \frac{c}{d}-\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}x\frac{c}{d} \right)-\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)

ve

\displaystyle \left( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} \right)x\frac{e}{f}=\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)-\left( \frac{c}{d}x\frac{e}{f} \right)

Rasyonel sayılarda çarpmanın çıkarma üzerinde dağılma özelliği vardır

Advertisement


Leave A Reply