Rasyonel Sayılarda Dört İşlem, Rasyonel Sayıları Sıralama ve Sadeleştirme

Rasyonel sayılarda dört işlem ile ilgili özellikler nelerdir, rasyonel sayıları sıralama nasıldır? Rasyonel sayıların sadeleştirilmesi konu anlatımı

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Toplama İşlemi:

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

ÖRNEK:

**** $\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$
$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$

ÖRNEK:

**** $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3+1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Paydalar eşitlenerek işlem yapılır.

Çıkarma İşlemi:

$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$

ÖRNEK:

**** $\displaystyle \frac{5}{2}-\frac{1}{2}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}$
$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$

ÖRNEK:

**** $\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{1}{2}=\frac{10-3}{6}=\frac{7}{6}$
Paydalar eşitlenerek işlem yapılır.

Çarpma İşlemi:

$\displaystyle \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$

ÖRNEK:

**** $\displaystyle \frac{4}{5}.\frac{2}{3}=\frac{8}{15}$

Bölme İşlemi:

$\displaystyle \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$

ÖRNEK:

**** $\displaystyle \frac{2}{5}:\frac{3}{7}=\frac{2}{5}.\frac{7}{3}=\frac{14}{15}$

RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

***Uygun sayılarla genişletilerek payları eşitlenen pozitif kesirlerde paydası küçük olan daha büyüktür.
***Uygun sayılarla genişletilerek paydaları eşitlenen pozitif kesirlerde payı büyük olan daha büyüktür.
*** $\displaystyle \frac{a}{b}$ pozitif basit kesir ise,

$\displaystyle \frac{a}{b}>{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}>{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{3}}>....$

*** $\displaystyle \frac{a}{b}$ pozitif bileşik kesir ise,

$\displaystyle \frac{a}{b}< {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}<{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{3}}<....$

*** Payı ve paydası arasındaki farkın aynı olduğu rasyonel sayılardan payı en büyük olan 1 e daha yakındır.

ÖRNEK:

$\displaystyle a=\frac{7}{5}$ , $\displaystyle b=\frac{39}{25}$ , $\displaystyle c=\frac{192}{125}$ sayıları arasında sıralama nedir?

$\displaystyle a=\frac{7}{5}=\frac{175}{125}$
$\displaystyle b=\frac{39}{25}=\frac{195}{125}$
$\displaystyle c=\frac{192}{125}$ olduğundan a

ÖRNEK:

a<0 olmak üzere, 3a=5b ve 2a=3c ise a,b,cv arasındaki sıralama nedir?

$\displaystyle 3a=5b\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{5}{3}=\frac{15}{9}\Rightarrow a=15k,b=9k$
$\displaystyle 2a=3c\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{3}{2}=\frac{15}{10}\Rightarrow a=15k,c=10k$
$\displaystyle a<0\Rightarrow k<0$ olmalıdır.

O halde, 15k<10k<9k ise a<c

Rasyonel Sayıların Sadeleştirilmesi

Pay ve paydalar çarpanlara ayrılır. Ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Örnek:

$\displaystyle \frac{x-y}{4x-6y}.\frac{3y-2x}{5x-5y}$
$\displaystyle =\frac{x-y}{2\left( 2x-3y \right)}.\frac{3y-2x}{5\left( x-y \right)}=\frac{-1}{10}$

RASYONEL İFADELERİN TOPLAMI VE FARKI

Pay ve paydalar çarpanlara ayrılır. O.K.E.K yardımı ile paydalar eşitlenir. Pay için toplama – çıkarma yapılır. Sonuç tekrar çarpanlara ayrılır ve sadeleştirilir.

Örnek:

$\displaystyle \frac{a-1}{a+2}-\frac{12}{{{a}^{2}}-4}=?$

Çözüm:

$\displaystyle \underset{\left( a-2 \right)}{\mathop{\frac{a-1}{a+2}}}\,-\underset{1}{\mathop{\frac{12}{\left( a-2 \right)\left( a+2 \right)}}}\,=\frac{\left( a-1 \right)\left( a-2 \right)-12}{\left( a+2 \right)\left( a-2 \right)}$
$\displaystyle =\frac{{{a}^{2}}-2a-a+2+12}{\left( a+2 \right)\left( a-2 \right)}=\frac{{{a}^{2}}-3a-10}{\left( a+2 \right)\left( a-2 \right)}$
$\displaystyle =\frac{\left( a+2 \right)\left( a-5 \right)}{\left( a+2 \right)\left( a-2 \right)}=\frac{a-5}{a-2}$

Örnek:

$\displaystyle \left( 2x+1 \right)-\frac{6{{x}^{2}}+7x-3}{3x-1}=?$

Çözüm:

$\displaystyle \left( 2x+1 \right)-\frac{\left( 3x-1 \right)\left( 2x+3 \right)}{3x-1}=\left( 2x+1 \right)-\left( 2x+3 \right)$
$\displaystyle =2x+1-2x-3=-2$

Örnek:

$\displaystyle {{t}^{2}}=t-2\Rightarrow {{t}^{5}}+t=?$

Çözüm:

$\displaystyle {{t}^{5}}+t=t\left( {{t}^{4}}+1 \right)=t\left[ {{\left( {{t}^{2}} \right)}^{2}}+1 \right]$
$\displaystyle =t\left[ {{\left( t-2 \right)}^{2}}+1 \right]=t\left[ {{t}^{2}}-4t+4+1 \right]$
$\displaystyle =t\left[ t-2-4t+5 \right]$
$\displaystyle t\left[ -3t+3 \right]=-3{{t}^{2}}+3t=-3\left( t-2 \right)+3t$
$\displaystyle =-3t+6+3t=6$